【高等数学-第五章】【综合习题】二重积分

一. 选择

1. 利用二重积分不等式性质

1. B
   利用二重积分不等式性质：函数大小+父函数递减

 

2. 二重积分定义的形式（1. 积分形式，2.被积函数）

 

交换积分次序（极坐标到直角坐标）

3. 对：
   先由极坐标：θ和r的取值范围，可直接化为直角坐标的上下限的表达式。
   画图，定先后积分次序。
   

 

二. 填空题

 

1. 根据被积函数（看成一元）找到正负的边界

1. 通过被积函数的的正负来划分不同的积分区域

 

2. 画对积分区域的步骤

3. 把握复合函数的范围
4. 画图像时别跳步
   

 

2. 交换积分次序

2.1. 当前积分不好积分时

对

 

2.2. 极坐标系看成直角坐标系进行积分

4. 变换积分次序

注意这不是极坐标系，是直角坐标系，进而简化积分。

5. 变换坐标

5.1. 技巧是：可以将极坐标将θ看成x，r看成y
5.2. 注意求反函数时，θ的值（由sinx的图像可知）

0到π的arcsinx图像

 

广义极坐标ing(不要求)

6. 广义极坐标（ing）
   

 

极坐标下的二重积分（面积与体积）

积分区域可由曲线满足的意义来决定

7. 求面积

1. 由r可得出θ的符合范围
2. 极坐标变换公式：θ和r的变化区间。
   

由定义：限定（截取）为积分区域、被截的为被积函数

8. 求截面体积

圆柱面是限定区域，
因为是关于x、y的积分，所以分离出z。
限定部分有上下两部分，由对称性分成4份。
极坐标：为圆柱面。

形心求导公式

9. 形心坐标公式

面积

10. 形心
    心型线公式：
    

 

 

三. 解答题

 

1. 不同区域下的积分

1. 不同x看成整体积分

 

2. 关于y=x对称与不好积分变换极坐标

2. 抓住积分特点：
   2.1. 关于y=x对称，xy的互换性
   2.2. 不好积分：变为极坐标积分
   tanx积分公式

 

3. 二重积分求导：求导变量替换到第二个积分限中

3. 对二重积分求导

1. 交换积分次序
   1.1 规整1：求导时，x不能在积分上下限中出现
   1.2. 规整2对t求导，首次积分上下限中不能有t，
2. 求导时：
   2.1. 首次积分y替换为t
   2.2. 求导时被积函数不能有t，需进行变换

3. 利用一元积分求导公式
   

补充题：

被积函数不能含有变上限参数，所以要交换积分次序
分清楚积分变量与求导变量

1. 对于积分可以将其他变量的式子提出来
2. 对于（对y）求导：积分限中要含有对应变量（y）
    

交换积分次序

4. 对
   注意对边界点的验证
   

 

二重积分求导、微分方程

5. 对
   5.1. 化成极坐标系
   5.2. 容易看到θ和r比较容易分离，然后分别积分，再洛必达。

下图方法比较复杂

6. 二重积分与微分方程

 

7. 二重积分与一阶线性微分方程
   

 

将x看成常数、积分中值定理+多元微分定义

8.1. 将x看成常数
8.2. 交换积分次序：求导参数（x）放到一侧积分，用于简化求导
8.3. 利用积分中值定理：x看成常数
8.4. 微分展开+积分中值定理的定义

 

9. (对) 设二重积分是一个数

 

几何应用：质心、形心

11. 质心公式

极坐标变直角坐标
二重积分求导的公式
凑求导定义

 

四. 拓展题

直接带入y(x)

三角函数积分公式