GAMES101 学习笔记 Lecture 15~18

Lecture 15: Ray Tracing 3 (Light Transport & Global Illumination)

能量一直在向外辐射，那么场景为什么不是越来越亮

因为物体接收到能量也会反射能量

辐[射]照度 irradiance

辐[射]照度表示单位面积上接受的光线在垂直方向上的辐射能量

$E(x)\equiv \frac{\mathrm{\Phi }(x)}{\mathrm{d}A}$

单位为 $\frac{W}{m^2}$ 或者 $\frac{lm}{m^2}=lux$

这里要求的是光线在垂直方向上的辐射能量，与光栅化中的 Lambert’s Cosine Law 类似

其实为了和之后的公式对比理解的话，我觉得也可以认为统计的这个光线的通量与面积不垂直

只要对这个面积乘一个 $\cos \theta$ 就好了

那么就可以写成 $E(x)\equiv \frac{\mathrm{\Phi }(x)}{\mathrm{d}A\cos \theta }$

当光逐渐向外传播时，变小的是 Irradiance 而不是 Intensity

也就是说，变小的是单位面积上的光通量，而单位立体角上的光通量是不变的

考虑这个单位立体角，在半径比较小的时候，对应的面积也小，在半径比较大的时候，对应的面积也大

Radiance 辐[射]亮度

Radiance 辐[射]亮度 Light Traveling ALong A Ray 单位立体角单位面积内或发射，或反射，或传送，或接受的能量

$L(p,w)\equiv \frac{{\mathrm{d}}^2\Phi (p,w)}{\mathrm{d}w\mathrm{d}A\cos \theta }$

单位 $\frac{W}{sr{m}^2}$ 或 $\frac{cd}{m^2}=\frac{lm}{sr{m}^2}=nit$

可以理解为一个单位面向某一个方向发出的能量

这里之所以能这么写，是使用了 $E(x)\equiv \frac{\mathrm{\Phi }(x)}{\mathrm{d}A\cos \theta }$ 的定义，也就是计算 $L$ 和 $E$ 的时候考虑到面积法向与光线方向不重合

Intensity, Irradiance, Radiance 之间的关系

Intensity 单位立体角所发射的能量

Irradiance 单位面积上接受的光线在垂直方向上的辐射能量

Radiance 单位立体角单位时间内或发射，或反射，或传送，或接受的能量

所以单纯从量纲上看，就有：

Radiance =

单位立体角的 Irradiance

单位面积的 Intensity

怎么理解 Radiance = 单位立体角的 Irradiance

从一个角度看，Radiance 是一个单位面积向某一个方向发出的能量

从另外一个角度看，Radiance 是一个单位面积从某一个方向接受的能量

类似地，Irradiance 也即是单位面积接受的能量，但是 Irradiance 是从各个方向接受的能量，而 Radiance 只是从一个方向

怎么理解 Radiance = 单位面积的 Intensity

感觉这个更好理解了，就是点到面

Radiance 是 Irradiance 微分

在一个半球对 Radiance 在半球上积分，就得到 Irradiance

前面好像也没有说这个 p 是什么？

这么一看的话，感觉应该是位置的意思

BRDF & The Rendering Equation

反射可以理解为从某个方向进来然后反射到某个方向去的能量。可以用 BRDF（反射方程）来描述这个过程。

就考虑某一个微小面积 dA 从某各微小立体角 dw 接收到的 Irradiance，会被如何分配到各个不同的立体角上面去。

更具体地说，我们知道某一个单位面积接收到了多少能量，也就是知道了 E

更进一步，对于反射，对于反射中的入射光，我知道从入射方向 $w_i$ 上过来了多少能量 $\mathrm{d}E(w_i)=L(w_i)\cos \theta \mathrm{d}{w}_i$

我始终没搞懂这个 PPT 这里为什么要写 $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}E}$

而不是 $\frac{L}{\mathrm{d}E}$

分母是 $\mathrm{d}E$ 我倒是理解，如果设 $E$ 是面积 A 从半球的立体角接收到的能量，那么对立体角微分，就得到面积 A 从某一个立体角接收到的能量

那为什么不直接写成 $L$ 呢？因为 Radiance 是单位面积单位立体角嘛

然后 $\mathrm{d}E=L\cos \theta \mathrm{d}w$ 嘛

其实我写 $\mathrm{d}E$ 也相当于在用 $L$ 嘛，只是我现在知道这个入射方向 $w_i$，那么我把 $L$ 与 $w_i$ 一乘，就是这个方向来的单位面积的能量嘛，然后就是面积法向与方向之间有个角度所以加 $\cos \theta$

但是出去的时候自然就是考虑 $L$ 啊，我就不知道为什么他说是 $\mathrm{d}L$

我再看了一下别人的解释

https://zhuanlan.zhihu.com/p/393371982

别人也说是

所以，P 点接受的辐照度和 PO 方向的辐亮度的比值是一个固定值，其只和 P 点表面的属性，入射光线 LP 以及出射光线 PO 相关，和光源 L 或其他的任何值都无关。我们把入射光线 $w_i$ 记作 ，出射光线记作 $w_o$，那么我们把这个反射比率用函数 $f(p,w_i,w_o)$ 表示。

这个函数即双向反射分布函数，BRDF。

然后别人也指出了一个隐含的条件就是，这个出射的 $L$ 中的单位面积就是指的是打到与光路相垂直的单位面积

这就更加让我感觉合理了……因为入射的时候考虑的单位面积是着色点的单位面积，所以有 $\cos \theta$；出射的时候认为计算的单位面积，或者说让别人接受的单位面积是垂直于光路的，所以没有 $\cos \theta$

再看到了

https://www.cnblogs.com/wickedpriest/p/13184433.html

从图中可以看到，所谓的BRDF就是从ωi方向发射一束光，打在平面某一个顶点上，在ωr的方向上的辐射亮度和顶点的辐射强度之比。
其中dL(ωr)是表面反射到ωr方向的反射光的微分辐射亮度，表面反射到ωr的反射光的辐射亮度为L(ωr)，来自于表面上半球所有方向入射光的贡献，用dL(ωr)是为了特指来自ωi方向的入射光贡献的辐射亮度。
dE(ωi)是表面从ωi方向的入射光的微分辐射强度，表面接收到的辐照强为E，用dE(ωi)特指来自于方向ωi的入射光。

他这个从 L 到 dL 的解释姑且还能接受，但是从 E 到 dE 的解释……看过那个半球的图，感觉还是用那个半球来解释可能会好一些

然后他后面解释了，dE dL 的写法是因为测量仪器的关系

嗯……很合理

就，干脆都用 L 也不是不行

就像这个 PPT 都是用的 L

后面又看到了有一个弹幕的解释

加d就是把很大一份分成很多很小一份，这一小份是根据夹角或者面积或其他来分的，本公式都是立体角，但是每个立体角也会导致其他变量不一样，比如cos值。说的高大上就是微分

然后再结合刚刚看到的那个博客

我感觉我似乎终于懂了……

首先，我们是从四面八方接受光线，所以输入 E

然后我们要向四面八方发散，所以输出 L

然后我们把这个 E 分成很多份，现在我们要知道入射方向的这一份，所以 E 是对立体角微分得到 dE，$\mathrm{d}E(w_i)$ 就是入射方向的这一份

然后输出 L，因为它本身其实就是单位面积单位立体角，所以本身就是指定一个方向的，所以本身我们就是输出 $L(w_o)$

但是这个 $L(w_o)$ 反射的能量来自 $E$，也就是来自各个入射方向的能量

现在我们把这个 $L(w_o)$ 分成很多份，现在我们要知道来自入射方向贡献的这一份，所以我们用 $\mathrm{d}L(w_o)$ 来代表入射方向贡献的这一份

感觉终于合理了……

再看一遍这页 PPT

他就是把这个分成很多份的 $L(w_o)$ 积分嘛，那我们之前的 $\mathrm{d}L(w_o)$ 来代表入射方向贡献的这一份，所以我们对所有的入射方向积分，也就是对这个半球积分的话，得到的就是这个 $L(w_o)$

BRDF 的递归问题

假设在某一个状态，我已经知道了 $L_i(p,w_i)$，材质为 $f_r(p,w_i\to w_r)$，然后我可以计算出这一点的 $L_r(p,w_r)$

但是这个出射的光线又会打到别的物体上，别的物体可能又会把这条光线反射回来，进而让我的 $p$ 点的 $L_i(p,w_i)$ 发生变化

我的 L i ( p , w i ) L_i(p,w_i) Li​(p,w