Luogu3927

本文探讨了如何通过数学公式推导求解一类特定的数论问题,利用质因数分解和进制转换等概念,给出了解决方案,并提供了一个具体的实现示例。

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就是一个十分简单的数论题。

来自LuoguNOIP模拟赛TG

首先,我们设 p 为质数,q,k为正整数, fi,j 表示 i!(j) 末尾的 0 的个数(a(b)表示 a 转为b进制后的数)

可以推知 fq,p=logq,pi=1(qpiqpi+1)×i=logq,pi=1qpi

然后 fq,pk=logq,pi=1qpik

最后就可以推知: fq,tmpi=1pkii=mintmpi=1logq,pij=1qpjiki

复杂度: O(m)

struct num
{
    long long p,q;
    num()
    {
        p=q=0;
    }
}g[1<<20];
long long tmp;
long long n,k,ans;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    fr(i,2,sqrt(k))
        if(!(k%i))
        {
            tmp++;
            g[tmp].p=i;
            while(!(k%i))
            {
                k/=i;
                g[tmp].q++;
            }
            _end_=sqrt(k);//减少循环次数,优化时间复杂度
        }
    if(k-1)
        g[++tmp].p=k,g[tmp].q=1;//如果没分解完,代表剩下的一定是质数,直接加进去
    ans=(1ll<<62);//设初值
    fr(i,1,tmp)
    {
        k=n;
        long long th=0;
        while(k)
        {
            th+=k/g[i].p;
            k/=g[i].p;
        }
        ans=min(ans,th/g[i].q);
    }//这就是那个恶心的公式
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
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