C++中的AVL树（附模拟实现）

在上一篇文章中，我们对map/multimap/set/multiset进行了简单的认识，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
（1）它的左右子树都是AVL树
（2）左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在log2 n，搜索时间复杂度O(log_2 n)。

二、AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data = T())
		: _pLeft(nullptr)
		, _pRight(nullptr)
		, _pParent(nullptr)
		, _data(data)
		, _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;
	AVLTreeNode<T>* _pRight;
	AVLTreeNode<T>* _pParent;
	T _data;
	int _bf;   // 节点的平衡因子（右树高度-左树高度）
};

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
（1）按照二叉搜索树的方式插入新节点
（2）调整节点的平衡因子

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
（1）如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
（2）如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
（1）如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
（2）如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
（3）如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

// 在AVL树中插入值为data的节点
bool Insert(const T& data)
{
    //1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	if (_pRoot == nullptr)
	{
		_pRoot = new Node(data);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _pRoot;
	while (cur)
	{
		if (cur->_data < data)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_pRight;
		}
		else if (cur->_data > data)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_pLeft;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(data);
	if (parent->_data < data)
	{
		parent->_pRight = cur;
	}
	else
	{
		parent->_pLeft = cur;
	}
	cur->_pParent = parent;
	//更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_pLeft)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_pParent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//出问题了，旋转
		{
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				//右单旋
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent