AVL树----高度平衡的二叉搜索树

AVL树的定义：
一颗AVL树或者是一颗空树，或者是一颗具有下列性质的二叉搜索树：它的左子树和右子树都是一颗AVL树，并且左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1。

我们来对AVL树进行结构的设计：

typedef struct AVLNode
{
	AVLNode* leftchild;//左孩子
	AVLNode* rightchild;//有孩子
	AVLNode* parent;//双亲
	int data;//数据域
}AVLNode;
typedef struct
{
	AVLNode* head;//头节点
	int cursize;//当前树的节点个数
}AVLtree;

节点的平衡因子：

• 给每个节点附加一个数字，给出该节点右子树的高度减去左子树的高度所得的高度差。这个数字即为节点的平衡因子。
• 根据AVL树的定义，任一节点的平衡因子只能取-1，0，1三种。
• 如果一个节点的平衡因子的绝对值大于1，则这颗二叉树就失去了平衡，不再是一个AVL树。
• 如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，它就称为AVL树，如果它有n个节点，其高度可保持在O(log2n)，平均搜索长度也可保持在O(log2n)。

如图下图所示的高度不平衡的二叉搜索树和高度平衡的二叉搜索树：

平衡化旋转：

1. 如果在一颗平衡的二叉搜索树中插入了一个新节点，造成了不平衡，此时必须调整树的结构，使其平衡化。
2. 平衡化旋转有两类：
   单旋转（左旋和右旋）
   双旋转（左平衡和右平衡）
3. 每插入一个新节点时，AVL树中相关节点的平衡状态就会发生改变。因此在插入一个新节点后，需要从插入位置沿通向根的路径回溯，检查各节点的平衡因子（左右子树的高度差）。
4. 如果在某一节点发现高度不平衡，停止回溯。
5. 从发生不平衡的节点起，沿刚才回溯的路径取直接下两层的节点。
6. 如果这三个节点处于一条直线上，则采用单旋转进行平衡化。单旋转可按方向分为左单旋转和右单旋转，其中一个是另一个的镜像，其方向与不平衡的形状相关。
7. 如果这三个节点处于一条折线上，则采用双旋转进行平衡化。双旋转分为先左后右和先右后左两类。

下面是两个左单旋转的例子：

代码如下：

void RotateLeft(AVLNode * &ptr)
{
	AVLNode* newroot = ptr->rightchild;
	newroot->parent = ptr->parent;
	ptr->rightchild = newroot->leftchild;
	if (newroot->leftchild != NULL)
	{
		newroot->leftchild->parent = ptr;

	}
	newroot->leftchild = ptr;
	ptr->parent = newroot;
	ptr = newroot;
}

右单旋转：

代码如下：

void RotateRight(AVLNode*& ptr)
{
	AVLNode* newroot = ptr->leftchild;
	newroot->parent = ptr->parent;
	ptr->leftchild = newroot->rightchild;

	if (newroot->rightchild != NULL)
	{
		newroot->rightchild->parent = ptr;
	}
	newroot->rightchild = ptr;
	ptr->parent = newroot;
	ptr = newroot;
}