斐波那契数列小结 ʕ •ᴥ•ʔ

公式：

　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。 
 
　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。 
 
　　3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。 
 
　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。 
 
　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。 
 
　　6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。 
 
　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。 
 
　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。 
 
　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。 
 
　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1] 
 
    11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.

接下来咱们来看看矩阵相乘

矩阵相乘：矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

设A为m*p的矩阵，B为p*n的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB：

斐波那契数列与矩阵的联系

上面已经介绍过了矩阵相乘的概念了，那么，斐波那契该怎么由矩阵标示呢？

从第三项开始，每一项都是前两项之和。 F(n)=F(n−1)+F(n−2), n⩾3 把斐波那契数列中 相邻的两项F(n)和F(n−1)写成一个2×1的矩阵。

斐波那契数列用矩阵推导如下：

求F(n)等于求二阶矩阵的n - 1次方，结果取矩阵第一行第一列的元素。

问题转换为二阶矩阵的n次幂。

而计算二阶矩阵的N次幂运算，由于二阶矩阵乘法满足结合律，这样，可以快速计算二阶矩阵的n次幂运算。

接下来的一段话 我不是很理解。。。你们自行理解。。。

假设A为一个二阶矩阵，则A的幂运算满足下面的条件：

A**6=A**3∗A**3

A**7=A**3∗A**3∗A**1=A**4*A**2*A**1

在这里，我们可以类似地把A看做是二进制中的2，2**7=2**4*2**2*2**1也就是说可以把矩阵的幂转换成二进制来表示。从而可以将n次幂拆解成长度为logn的二进制数来表示：7=111(二进制)。

这就是快速求二阶矩阵的核心方法。

#define ll long long
ll x[2][2],t[2][2];
void mul(ll a[][2],ll b[][2])
{
	ll ans[2][2];
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		ans[i][j]=a[i][0]*b[j][0]+a[i][1]*b[1][j];//不用记  自己推 
	}
	a[0][0]=ans[0][0]%mod;
	a[0][1]=ans[0][1]%mod;
	a[1][0]=ans[1][0]%mod;
	a[1][1]=ans[1][1]%mod;
	
	
}
void power(ll num)
{
	x[0][0]=1;
	x[0][1]=0;
	t[0][0]=1;
	t[0][1]=1;
	t[1][0]=1;
	t[1][1]=0;
	while(num)
	{
		if(num&1)
		{
			mul(x,t);
		}
		mul(t,t);
		num>>=1;
	}
}