画图像解方程系列-FPI

不是所有方程都能求出精确解。

解方程

sinx(x) = cos(x)，求x，在区间（0，1）范围内。

正常解法：
两边除以cosx得到tanx = 1
解的x = Π/4，使用计算机计算得到：0.78539816339744830961566084581988。

画图

画出sin(x)和cos(x)的函数图像，参见函数图像是如何画出来的(LiveCharts2)

放大图像，找到近似初始值，从图中可以看出交点在0.78和0.79之间。将初始值，设置为0.785。

FPI不动点迭代

g(x) = x + cos(x)-sin(x)，之所以这样构造，是因为导数<1，会收敛。如果导数大于1的话，就会发散

 Task.Run(() =>
 {
     double x = 0.785;
 
     for (int i = 0; i < 10; i++)
     {          
         x = x  +  Math.Cos(x)-Math.Sin(x);
     }
     Debug.WriteLine("x:" + x );
     Debug.WriteLine("error:" + (Math.Cos(x)-Math.Sin(x)) );

 
          // 使用Dispatcher在UI线程中更新Greeting
     //Dispatcher.UIThread.InvokeAsync(() => Greeting = x.ToString()); // 更新Greeting并同步到UI
     Root = x;
 });

运行结果：

x:0.7853981041998028
error:8.371811310858845E-08

和最初的0.785对应的error进行比较：0.0005630880618338052约等于5.63E-4。

取迭代次数是100的时候，这个时候和计算器的值很接近了。

x:0.7853981633974482
error:2.220446049250313E-16

从这里可以看出整整提升了4个数量级。其实最初的估计的额精度能满足大部分的场景了，当你想要更高的精度的时候，就的需要算法实现了。FPI只是其中一种，还有很多方法，比如二分法，牛顿方法等。

写在最后

工程中很多时候是无法求出精确解的或者精确解很难求出来。这个时候就需要数值计算来提高求解精度。理想气体状态方程PV=nRT，这个与实际方程式有差距的，不过我们可以根据PV=nRT来获取与真实值接近的初始V，然后带入实际的状态方程，不断迭代来获取到精度很高的的真实体积V。

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