圆内接四边形的面积

原创于 2025-08-08 09:22:44 发布 · 1.2k 阅读

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#圆 #四边形

圆内接四边形是一种特殊的四边形，其所有顶点都位于圆的圆周上。换句话说，如果你画一个四边形，然后找到一个经过该四边形所有四个顶点的圆，那么这个四边形就称为圆内接四边形。

圆内接四边形有几个有趣的性质，例如它们的对角关系、对角线关系以及托勒密定理。本文将全面介绍圆内接四边形及其性质。

圆内接四边形定义

圆内接四边形是指内接于圆的四边形，即有一个圆通过该四边形的所有四个顶点。

圆内接四边形的顶点共圆。圆心称为外接圆心，圆半径称为外接圆半径。

如下图所示，ABCD 是一个圆内接四边形，边长分别为 a、b、c 和 d。

圆内接四边形

圆内接四边形的角

圆内接四边形的对角和互为补角。

对于圆内接四边形，设内角为∠A、∠B、∠C、∠D，则

∠A + ∠C = 180°...(1)
∠B + ∠D = 180°...(2)

将公式 (1) 和 (2) 相加，可得

∠A + ∠B + ∠C + ∠D= 360°

因此，四边形的角和性质也适用于圆内接四边形。

圆内接四边形的性质

圆内接四边形是一种特殊的四边形，其所有顶点都位于圆的圆周上。圆内接四边形的一些重要性质如下：

性质	描述
对角和	对角的度数之和始终为 180 度。
邻角和	圆内接四边形的邻角和始终为 180 度。
外角和	圆内接四边形一条边的延长角等于其内对角。
对角线	对角线长度的乘积等于对边乘积之和。
对角	任何圆内接四边形的对角都是互补的。
相等对角角平分线	如果圆内接四边形中的两个对角被对角线平分，那么平分线的交点位于外接圆上。
边的垂直平分线	圆内接四边形各边的垂直平分线交于四边形外接圆上的一点。
边的平方和	边的平方和等于对角线的平方和加上外接圆半径的平方的四倍。

Property	Description
Sum of Opposite Angles	The sum of the measures of opposite angles is always 180 degrees.
Sum of Adjacent Angles	The sum of adjacent angles in a cyclic quadrilateral is always 180 degrees.
Exterior Angle Sum	The exterior angle formed by extending one side of the cyclic quadrilateral equals the interior opposite angle.
Diagonals	The product of the lengths of the diagonals equals the sum of the products of opposite sides.
Opposite Angles	Opposite angles of any cyclic quadrilateral are supplementary.
Equal Opposite Angles Bisectors	If two opposite angles in a cyclic quadrilateral are bisected by the diagonal, then the point of intersection of the bisectors lies on the circumcircle.
Perpendicular Bisectors of Sides	The perpendicular bisectors of the sides of a cyclic quadrilateral intersect at a point that lies on the circumcircle of the quadrilateral.
Sum of Squares of Sides	The sum of the squares of the sides equals the sum of the squares of the diagonals plus four times the square of the radius of the circumcircle.

圆内接四边形公式

对于圆内接四边形有多种公式，其中一些重要的公式如下：

圆内接四边形的面积
外接圆半径
圆内接四边形的对角线

下面我们来详细讨论一下这些公式：

圆内接四边形面积公式

圆内接四边形的面积使用以下公式计算：

圆内四边形面积 = √(sa)(sb)(sc)(sd)

在哪里，

a、b、c、d 是圆内接四边形的边，并且
s是半周长 [ s = (a + b + c + d) / 2 ]。

注意：此公式也称为 Brahmagupta 公式。

外接圆半径

设圆内接四边形的边为a、b、c和d，s为半周长，则外接圆半径为，

圆内接四边形的对角线

对角线是任何多边形中连接任意两个不相邻顶点的线。

假设 a、b、c 和 d 是圆内接四边形的边，p 和 q 是其对角线，那么我们可以使用以下公式找到它的对角线：

圆周四边形定理

为了更好地理解圆周四边形，我们来看一下几何学中的一些不同定理。其中一些重要的定理是：

内接角定理
托勒密定理

现在，让我们详细研究这些定理：

内接角定理

根据内接角定理，

任何圆内接四边形的对角和都是补角。

已知：一个圆内接四边形 ABCD，位于以 O 为圆心的圆内。

构造：连接半径 OA 和 OC

证明： 在四边形ABCD中，

2 × ∠ABC = 反射 ∠ AOC（根据圆周定理）...（等式 1）

相似地，

2 × ∠ADC = ∠ AOC...（等式 2）

我们知道，

∠ AOC + 反射 ∠ AOC = 360°...（等式 3）

根据方程（1）+方程（2）

2 × ∠ADC + 2 × ∠ABC = 反射 ∠ AOC + ∠ AOC

2 × (∠ADC + ∠ABC) = 反射∠AOC + ∠AOC

2 × ∠ADC + ∠ABC = 360°（根据等式 3）

∠ADC + ∠ABC = 180°（补充）

相似地，

∠BAD + ∠BCD = 180°（补充）

因此，圆内接四边形的对角互补。

上述定理的逆命题也成立。

即，如果四边形的对角和互补，那么它就是圆内接四边形。

托勒密定理

托勒密定理以希腊天文学家和数学家克劳狄斯·托勒密（约公元100年 - 约公元170年）的名字命名。该定理指出：

对于任何圆内接四边形，其两对相对边的乘积之和等于其对角线的乘积。

从数学上讲，如果ABCD是一个圆内接四边形，其边为AB、BC、CD和DA，对角线为AC和BD，则托勒密定理可以表示为：

AB · CD + BC · DA = AC · BD

或者

设a、b、c、d为圆内接四边形的边长，e、f为对角线长度，则：

ac + bd = ef

结论

总而言之，圆内接四边形是指四个顶点位于一个圆上的四边形。它们具有一些特殊的性质，例如内部存在垂直线以及托勒密定理。它们很容易制作，并且有助于解决几何问题。学习圆内接四边形有助于我们更好地理解形状，并领悟数学的美妙，从而激励我们学习更多。

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三角形面积

圆内接四边形的解题示例

例 1：计算边长分别为 21 米、35 米、62 米、12 米的圆内接四边形的面积。

解决方案：

已知：a = 21 米，b = 35 米，c = 62 米，d = 12 米。

s = (a + b + c + d) / 2

∴s = (21 + 35 + 62 + 12) / 2

∴s = 65 米

自从，

k = √(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)

∴k = √（65 - 21）（65 - 35）（65 - 62）（65 - 12）

∴k=√44×30×3×53

∴k=√209880

∴k = 458.12米²

例 2：一个四边形板球场，边长分别为 23 米、54 米、13 米和 51 米，与一个圆形草地的边界相接。如何计算这个四边形球场的面积？

解决方案：

已知：a = 23 米，b = 54 米，c = 13 米，d = 51 米。

s = (a + b + c + d) / 2

∴s = (23 + 54 + 13 + 51) / 2

∴s = 70.5 米

自从，

k = √(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)

∴k = √（70.5 - 23）（70.5 - 54）（70.5 - 13）（70.5 - 51）

∴k = √47.5 × 16.5 × 57.5 × 19.5

∴k=√878779.68

∴k = 937.43米²

例 3：一个圆内接四边形的边长分别为 28 米、61 米、37 米、10 米，求它的面积。

解决方案：

已知：a = 23 米，b = 54 米，c = 13 米，d = 51 米。

s = (a + b + c + d) / 2

∴s = (28 + 61 + 37 + 10) / 2

∴s = 68 米

自从，

k = √(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)

∴k = √（68 - 28）（68 - 61）（68 - 37）（68 - 10）

∴k=√40×7×31×58

∴k=√503440

∴k = 709.53 米²

例 4：如何计算边长分别为 12 厘米、21 厘米、10 厘米和 5 厘米的圆内接四边形的周长？

解决方案：

已知：a = 12 厘米，b = 21 厘米，c = 10 厘米，d = 5 厘米。

s = (a + b + c + d) / 2

∴s = (12 + 21 + 10 + 5) / 2

∴s = 24 厘米

圆内接四边形的周长 = 2s

∴圆内接四边形的周长 = 2 × 24

∴圆内接四边形的周长 = 48 厘米

例 5：求圆内接四边形中∠C 为 70° 时∠A 的值。

解决方案：