C++ N*M 网格(表格)中的矩形数量

给定一个 N*M 的网格，打印其中的矩形数量。

示例： 

输入： N = 2，M = 2
输出： 9
有 4 个大小为 1 x 1 的矩形。
有 2 个大小为 1 x 2 的矩形
有 2 个大小为 2 x 1 的矩形
有一个大小为 2 x 2 的矩形。

输入： N = 5，M = 4
输出： 150
输入： N = 4，M = 3
输出： 60

强力破解方法：

迭代所有可能的水平线对。
迭代所有可能的垂直线对。
计算一下可以用这些线形成的矩形的数量。 

以下是上述方法的代码： 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int rectCount(int n, int m)
{
    int count = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) // iterating over all possible pairs of horizontal lines
    {
        for(int j=1; j<=m; j++) // iterating over all possible pairs of vertical lines
        {
            count += (n-i+1)*(m-j+1); // counting the number of rectangles that can be formed using these lines
        }
    }
    return count;
}
 
/* driver code */
int main()
{
    int n = 5, m = 4;
    cout << rectCount(n, m);
    return 0;
} 

输出：150

时间复杂度： O(N^2)
空间复杂度： O(1)

我们已经讨论了如何计算 n*m 网格中的方块数，参考如下文章：
计算矩形中的正方形数量：
C++：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145686813
C语言：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145687009
Java：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145687069
Python：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145687138
C#：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145687205
javascript：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145687255
PHP：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/145687312

现在让我们推导出矩形数量的公式：
如果网格是 1×1，则有 1 个矩形。 
如果网格是 2×1，则会有 2 + 1 = 3 个矩形 
如果网格是 3×1，则会有 3 + 2 + 1 = 6 个矩形。 
我们可以说，对于 N*1，将有 N + (N-1) + (n-2) … + 1 = (N)(N+1)/2 个矩形
如果我们在 N×1 中再添加一列，那么首先，第二列中的矩形数量将与第一列一样多， 
然后我们将有相同数量的 2×M 个矩形。 
所以 N×2 = 3 (N)(N+1)/2
推导出来后我们可以说 
对于 N*M 我们有 (M)(M+1)/2 (N)(N+1)/2 = M(M+1)(N)(N+1)/4
所以总矩形的公式将是 M(M+1)(N)(N+1)/4 。

组合逻辑：

N*M 网格可以表示为 (N+1) 条垂直线和 (M+1) 条水平线。
在矩形中，我们需要两条不同的水平线和两条不同的垂直线。
因此，按照组合数学的逻辑，我们可以选择 2 条垂直线和 2 条水平线来形成一个矩形。这些组合的总数就是网格中可能出现的矩形的数量。

N*M 网格中的矩形总数：N+1 C 2 * M+1 C 2 = (N*(N+1)/2!)*(M*(M+1)/2!) = N*(N+1)*M*(M+1)/4，公式如图：

示例代码： 

// C++ program to count number of rectangles
// in a n x m grid
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int rectCount(int n, int m)
{
    return (m * n * (n + 1) * (m + 1)) / 4;
}
 
/* driver code */
int main()
{
    int n = 5, m = 4;
    cout << rectCount(n, m);
    return 0;
}

输出：150

时间复杂度： O（1）

辅助空间： O（1），因为没有占用额外的空间。

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