Python 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)

给定一个 amxn 矩形，其中有多少个正方形？

例如： 

输入：   m = 2, n = 2
输出： 5
有 4 个尺寸为 1x1 的正方形 + 1 个尺寸为 2x2 的正方形。

输入： m = 4, n = 3
输出： 20
有 12 个尺寸为 1x1 的正方形 + 
          6 个尺寸为 2x2 的正方形 + 
          2 个尺寸为 3x3 的正方形。

我们先针对 m = n 即正方形解决这个问题：
对于 m = n = 1，输出：1
对于 m = n = 2，输出：4 + 1 [ 4 个大小为 1×1 + 1 个大小为 2×2 ] 对于
m = n = 3，输出：9 + 4 + 1 [ 9 个大小为 1×1 + 4 个大小为 2×2 + 1 个大小为 3×3 ]
对于 m = n = 4，输出 16 + 9 + 4 + 1 [ 16 个大小为 1×1 + 9 个大小为 2×2 + 4 个大小为 3×3 + 1 个大小为 4×4 ]
通常，它似乎是 n^2 + (n-1)^2 + … 1 = n(n+1)(2n+1)/6

当 m 可能不等于 n 时，让我们解决这个问题：假设 m <= n 

从上面的解释中，我们知道 amxm 矩阵的方格数为 m(m+1)(2m+1)/6

当我们添加一列时会发生什么，即 mx（m+1）矩阵中的方格数是多少？

当我们添加一列时，增加的方块数为 m + (m-1) + … + 3 + 2 + 1 
[ m 个大小为 1×1 的方块 + (m-1) 个大小为 2×2 的方块 + … + 1 个大小为 mxm 的方块 ] 
等于 m(m+1)/2

因此，当我们添加 (nm) 列时，增加的方格总数为 (nm)*m(m+1)/2。
因此，方格总数为 m(m+1)(2m+1)/6 + (nm)*m(m+1)/2。
使用相同的逻辑，我们可以证明 n <= m 的情况。

因此，总的来说， 

当 n 为较大维度时，总方块数 = mx (m+1) x (2m+1)/6 + (nm) xmx (m+1)/2

利用上述逻辑，我们也可以证明正方形中的正方形数量为 n(n+1)(2n+1)/6

以下是上述公式的实现：

# Python3 program to count squares
# in a rectangle of size m x n
 
# Returns count of all squares 
# in a rectangle of size m x n
def countSquares(m, n):
     
    # If n is smaller, swap m and n
    if(n < m):
        temp = m
        m = n
        n = temp
         
    # Now n is greater dimension, 
    # apply formula
    return ((m * (m + 1) * (2 * m + 1) /
           6 + (n - m) * m * (m + 1) / 2))
 
# Driver Code
if __name__=='__main__':
    m = 4
    n = 3
    print("Count of squares is "
         ,countSquares(m, n))
 
# This code is contributed by mits. 

输出 ： 

方格数为 20

时间复杂度： O（1）

辅助空间： O(1)

替代解决方案： 

取 m = 2，n = 3；
边长为 1 的正方形的数量为 6，因为存在两种情况，第一种情况是沿水平方向的边长为 1 单位的正方形（2），第二种情况是沿垂直方向的边长为 1 单位的正方形（3）。这样一来，共有 2*3 = 6 个正方形。
当边长为 2 个单位时，第一种情况是水平方向只有一处有 2 个单位边长的正方形，第二种情况是垂直方向有两处有 2 个单位边长的正方形。因此，正方形的数量=2
因此我们可以推断，大小为 1*1 的正方形的数量为 m*n。大小为 2*2 的正方形的数量为 (n-1)(m-1)。因此，大小为 n 的正方形的数量为 1*(m-n+1)。
总方块数的最终公式为n*(n+1)(3m-n+1)/6。

# Python3 program to count squares 
# in a rectangle of size m x n 
 
# Returns count of all squares 
# in a rectangle of size m x n 
def countSquares(m, n): 
     
    # If n is smaller, swap m and n 
    if(n < m): 
        temp = m 
        m = n 
        n = temp 
         
    # Now n is greater dimension, 
    # apply formula 
    return n * (n + 1) * (3 * m - n + 1) // 6
 
# Driver Code 
if __name__=='__main__': 
    m = 4
    n = 3
    print("Count of squares is",
           countSquares(m, n)) 
 
# This code is contributed by AnkitRai01 

输出 ： 

方格数为 20

时间复杂度： O（1）

辅助空间： O(1)

感谢 Pranav 提供这个替代解决方案。

方法＃3：使用循环
此方法通过遍历从 1 到 m 和 n 中的最小值的所有可能的正方形尺寸，并累加可放入矩形的每种尺寸的正方形数量，来计算给定大小为 mxn 的矩形中的正方形数量。 

算法
1. 将计数器变量初始化为 0。
2. 遍历所有可能的正方形大小，即从 1 到 min(m, n)。
3. 对于每个正方形大小，计算可以形成的正方形数量。
4. 将此计数添加到计数器变量。
5. 返回最终计数。

# Function to count the number of squares in an m x n grid
def count_squares(m, n):
    count = 0
    for i in range(1, min(m, n) + 1):
        # Calculate the number of squares 
        # with side length 'i' that fit in the grid
        count += (m - i + 1) * (n - i + 1)
    return count
 
m = 4
n = 3
print(count_squares(m, n)) 

输出：
20

时间复杂度：O(m * n * min(m, n))

空间复杂度：O(1)

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