c++ Kruskal 最小生成树 (MST) 算法（Kruskal’s Minimum Spanning Tree (MST) Algorithm）

csdn_aspnet

于 2024-11-04 09:18:35 发布

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分类专栏： c++ 文章标签： c++ 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142526944

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对于加权、连通、无向图，最小生成树(MST) 或最小权重生成树是权重小于或等于其他所有生成树权重的生成树。

Kruskal算法简介：
在这里，我们将讨论Kruskal 算法来查找给定加权图的 MST。

在 Kruskal 算法中，按升序对给定图的所有边进行排序。然后，如果新添加的边不形成循环，它会继续在 MST 中添加新边和节点。它首先选择最小权重边，最后选择最大权重边。因此，我们可以说它在每一步中都做出局部最优选择以找到最优解。因此，这是一种贪婪算法。

如何使用 Kruskal 算法查找 MST？
以下是使用 Kruskal 算法查找 MST 的步骤：

1.按照权重的非递减顺序对所有边进行排序。
2.选择最小的边。检查它是否与目前形成的生成树形成一个循环。如果没有形成循环，则包括这条边。否则，丢弃它。
3.重复步骤#2，直到生成树中有 (V-1) 条边。

第 2 步使用并查集算法来检测循环。
因此，我们建议先阅读以下文章：

并查表算法 | 集合 1（检测图中的循环）

javascript 不相交集简介（并查集算法）：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142524938

C# 不相交集简介（并查集算法）：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142524824

python 不相交集简介（并查集算法）：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142524698

java 不相交集简介（并查集算法）：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142524698

c++ 不相交集简介（并查集算法）：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142523025

并查集算法 | 集合 2（按秩并集和路径压缩）

c语言并查集算法中的按秩联合和路径压缩：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142526674

javascript 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142526517

C# 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142526449

python 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142526387

java 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142526336

c++ 并查集算法中的按秩联合和路径压缩：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/142525945

Kruskal 寻找最小成本生成树的算法采用贪婪方法。贪婪选择是选择迄今为止构建的 MST 中不会引起循环的最小权重边。让我们通过一个例子来理解它：

插图：
下面是上述方法的说明：

输入图：

该图包含 9 个顶点和 14 条边。因此，形成的最小生成树将具有 (9 - 1) = 8 条边。

排序后：

Weight	Source	Destination
1	7	6
2	8	2
2	6	5
4	0	1
4	2	5
6	8	6
7	2	3
7	7	8
8	0	7
8	1	2
9	3	4
10	5	4
11	1	7
14	3	5

现在从排序的边列表中逐一选择所有边

步骤 1：选取边 7-6。未形成循环，将其包括在内。

步骤 2：拾取边 8-2。未形成循环，将其包括在内。

步骤 3：选取边 6-5。未形成循环，将其包括在内。

步骤 4：选取边 0-1。没有形成循环，将其包括在内。

步骤 5：选取边 2-5。未形成循环，将其包括在内。

步骤 6：选择边 8-6。由于包含此边会导致循环，因此将其丢弃。选择边 2-3：未形成循环，因此将其包括在内。

步骤 7：选择边 7-8。由于包含此边会导致循环，因此将其丢弃。选择边 0-7。未形成循环，因此将其包括在内。

步骤 8：选择边 1-2。由于包含此边会导致循环，因此将其丢弃。选择边 3-4。未形成循环，因此将其包括在内。

注意：由于MST中包含的边数等于（V-1），因此算法在此停止

下面是上述方法的实现：

// C++ program for the above approach

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// DSU data structure
// path compression + rank by union
class DSU {
int* parent;
int* rank;

public:
DSU(int n)
{
parent = new int[n];
rank = new int[n];

for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = -1;
rank[i] = 1;
}
}

// Find function
int find(int i)
{
if (parent[i] == -1)
return i;

return parent[i] = find(parent[i]);
}

// Union function
void unite(int x, int y)
{
int s1 = find(x);
int s2 = find(y);

if (s1 != s2) {
if (rank[s1] < rank[s2]) {
parent[s1] = s2;
}
else if (rank[s1] > rank[s2]) {
parent[s2] = s1;
}
else {
parent[s2] = s1;
rank[s1] += 1;
}
}
}
};

class Graph {
vector<vector<int> > edgelist;
int V;

public:
Graph(int V) { this->V = V; }

// Function to add edge in a graph
void addEdge(int x, int y, int w)
{
edgelist.push_back({ w, x, y });
}

void kruskals_mst()
{
// Sort all edges
sort(edgelist.begin(), edgelist.end());

// Initialize the DSU
DSU s(V);
int ans = 0;
cout << "Following are the edges in the "
"constructed MST"
<< endl;
for (auto edge : edgelist) {
int w = edge[0];
int x = edge[1];
int y = edge[2];

// Take this edge in MST if it does
// not forms a cycle
if (s.find(x) != s.find(y)) {
s.unite(x, y);
ans += w;
cout << x << " -- " << y << " == " << w
<< endl;
}
}
cout << "Minimum Cost Spanning Tree: " << ans;
}
};

// Driver code
int main()
{
Graph g(4);
g.addEdge(0, 1, 10);
g.addEdge(1, 3, 15);
g.addEdge(2, 3, 4);
g.addEdge(2, 0, 6);
g.addEdge(0, 3, 5);

// Function call
g.kruskals_mst();

return 0;
}