python 指数搜索（Exponential Search）

        该搜索算法的名称可能会产生误导，因为它的工作时间为 O(Log n)。该名称来自于它搜索元素的方式。 

给定一个已排序的数组和要
搜索的元素 x，找到 x 在数组中的位置。

输入：arr[] = {10, 20, 40, 45, 55} 
        x = 45
输出：在索引 3 处找到元素

输入：arr[] = {10, 15, 25, 45, 55} 
        x = 15
输出：元素在索引 1 处找到

我们已经讨论过，线性搜索、二分搜索这个问题。
指数搜索涉及两个步骤：  
        1、查找元素存在的范围
        2、在上面找到的范围内进行二分查找。
如何找到元素可能存在的范围？ 
        这个想法是从子数组大小 1 开始，将其最后一个元素与 x 进行比较，然后尝试大小 2，然后是 4，依此类推，直到子数组的最后一个元素不大于。 
        一旦我们找到一个索引 i（在重复将 i 加倍之后），我们就知道该元素必须存在于 i/2 和 i 之间（为什么是 i/2？因为我们在之前的迭代中找不到更大的值）下面给出的是上述步骤的实施。 

示例： 

# Python program to find an element x
# in a sorted array using Exponential Search
 
# A recursive binary search function returns 
# location  of x in given array arr[l..r] is 
# present, otherwise -1
def binarySearch( arr, l, r, x):
    if r >= l:
        mid = l + ( r-l ) // 2
         
        # If the element is present at 
        # the middle itself
        if arr[mid] == x:
            return mid
         
        # If the element is smaller than mid, 
        # then it can only be present in the 
        # left subarray
        if arr[mid] > x:
            return binarySearch(arr, l, 
                                mid - 1, x)
         
        # Else he element can only be
        # present in the right
        return binarySearch(arr, mid + 1, r, x)
         
    # We reach here if the element is not present
    return -1
 
# Returns the position of first
# occurrence of x in array
def exponentialSearch(arr, n, x):
    # IF x is present at first 
    # location itself
    if arr[0] == x:
        return 0
         
    # Find range for binary search 
    # j by repeated doubling
    i = 1
    while i < n and arr[i] <= x:
        i = i * 2
     
    # Call binary search for the found range
    return binarySearch( arr, i // 2, 
                         min(i, n-1), x)
     
 
# Driver Code
arr = [2, 3, 4, 10, 40]
n = len(arr)
x = 10
result = exponentialSearch(arr, n, x)
if result == -1:
    print ("Element not found in the array")
else:
    print ("Element is present at index %d" %(result))
 
# This code is contributed by Harshit Agrawal 

输出
元素出现在索引 3 处
时间复杂度： O(Log n) 
辅助空间：上述二分查找的实现是递归的，需要 O(Log n) 空间。通过迭代二分搜索，我们只需要 O(1) 空间。
指数搜索的应用： 
        1、指数二分搜索对于数组大小无限的无界搜索特别有用。请参阅无界二分搜索示例。
        2、对于有界数组，以及当要搜索的元素更接近第一个元素时，它比二分搜索效果更好。