动态规划 —— 斐波那契数列模型-三步问题

1. 三步问题

题目链接：
面试题 08.01. 三步问题 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/three-steps-problem-lcci/description/

 

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2.  题目解析

本题要求小孩可以一次性跨1 / 2 /3个台阶  ，由图可以看出0到1有一种方法，0到2有跨一步（直接到2）和跨两步（先到1再到2）两种方法，0到3有跨一步（直接到3）和跨两步（先到1再到3），跨两步（先到2再到3），跨3步（先到1再到2再到3）四种方法

   

到第四个台阶的位置时0就不能过去了，那么就要先到1再到4（第一种方法），当到了第一个台阶时那么情况就和之前的从第0个台阶到第3给台阶有几步相同，也就是：1+2+4=7

从这里就看出来后面的台阶就等于前3个台阶的次数相加

 

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3. 算法原理 

1. 状态表示：以i位置为结尾

    

dp[i]表示：到达第i个位置的时候，一共有多少种方法

2. 状态转移方程：以i位置的状态，最近的一步来划分情况

   

  dp[i]分为3种情况来表示：

                                                1. 从dp[i-1]到dp[i]

                                                2. 从dp[i-2]到dp[i]

                                                3. 从dp[i-3]到dp[i]

    

    

本题的状态转移方程是：dp[i]=dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

3. 初始化：把dp表填满不越界，让后面的填表可以顺利进行

     

如何填表：就是根据前面的状态转移方程来进行填表

   

本题的题目并没有直接说明前三个初始化是多少，但是我们根据前面的推导可以得出本题的初始化为：dp[1] = 1         dp[2] = 2         dp[i-3] = 4

4. 填表顺序 

本题的填表顺序是：从左到右

 

5. 返回值 ：题目要求 + 状态表示 

本题的返回值是：直接返回dp[n]

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4. 代码

动态规划的固定四步骤：1.  创建一个dp表

                                        2. 在填表之前初始化

                                        3. 填表（填表方法：状态转移方程）

                                        4. 确定返回值

普通版本，适用于数据不大的情况

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) {
        if (n == 1 || n == 2) return n;
        if (n == 3) return 4;
        vector<int>dp(n + 1);
        dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4;
        for (int i = 4; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        return dp[n];
    }
};

 加上取模（%）版本，方便使用更大的数据

class Solution {
public:
    const int MOD = 1e9+7;

    int waysToStep(int n) {
        if(n==1||n==2) return n;
        if(n==3) return 4;
        vector<int>dp(n+1);
        dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4;
        for(int i=4;i<=n;i++)
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%MOD+dp[i-3])%MOD;
            return dp[n];
    }
};

 

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完结撒花~