n维向量积（3维向量积的推广,向量算法）

最新推荐文章于 2025-10-27 09:07:34 发布

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本文探讨了三维空间中向量积的概念，并将其推广到n维空间。通过分析三维向量的混合积表示的平行六面体面积，提出当向量数量增加时，如A×B×C×D等，向量积可以继续运算。然而，在四维空间中，两个四维向量相乘得到的结果不再唯一，表明在n维空间，n-2维的体（面）受限于方程组。文章进一步讨论了n-1个向量的积以及混合积的定义。

在三维空间中，两个向量的乘积（向量积，外积，乘积，区别于两个向量的数乘：内积，点积）表示两个向量的扭矩，而三个向量的混合积A×B·C，则表示由三个向量A,B,C所构成的平行六面体的面积。而且在混合积中A,B,C的位置是可以互换的（这个很容易证明），这也符合我们的经验。那么问题来了？
1）3个或者N>3个三维向量相乘如何定义？A×B×C×D....因为A×B是有定义的，A×B是向量，那么只要继续乘就可以了，这也说明3维向量相乘，向量个数不是问题；
2）向量个数不是问题，那4维向量的两个向量相乘呢？

设A=(a1,a2,a3,a4),B=(b1,b2,b3,b4) A*B=(x1,x2,x3,x4)则满足如下方程组：
① A·(A*B)=0
② B·(A*B)=0
③ |A*B|=|A|*|B|sinθ。
这是一个4元二次方程组，但只有3个方程组，显然解不是一个。这说明A*B在4维空间，如果按垂直来定义，无法唯一确定，其结果是一个面(受限的)。
类似的，扩展到n维空间，方程组还是只有3个。结果是n-2维体（面）（受限于方程）。

下面推广n维向量的
n-1个向量积：A1*A2*...A(n-1)·；
混合积:A1*A2*...A(n-1)·An.

/// <summary>
        /// 向量积
        /// </summary>
        /// <param name="A"></param>
        /// <param name="B"></param>
        /// <returns></returns>
        public static TVector Mul(TVector A, TVector B)
        {
            if (A.Count == B.Count && B.Count == 3)