求i^k之和——HDU - 6027

本文介绍了一种解决大数幂求和问题的方法,通过快速幂运算计算一系列整数的k次幂之和,并对结果取模以避免溢出。采用C语言实现,适用于处理较大范围内的整数。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

You are encountered with a traditional problem concerning the sums of powers. 
Given two integers n and k. Let f(i)=i^{k}, please evaluate the sum= f(1)+f(2)+...+f(n). The problem is simple as it looks, apart from the value of nn in this question is quite large. 
Can you figure the answer out? Since the answer may be too large, please output the answer modulo 10^{9}+7.

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤20), denoting the number of test cases. 
Each of the following T lines contains two integers n(1≤n≤10000)and k(0≤k≤5)

Output

For each test case, print a single line containing an integer modulo 10^{9}+7.

Sample Input

3
2 5
4 2
4 1

Sample Output

33
30
10

题解:

快速幂求a^n的值,再在主函数中调用。

由于数值比较大,用  long long  型数

代码:

#include<stdio.h>
long long pow(int a,int n)
{//返回a^n
    long long result=1,flag=a;
	while(n)
	{
		if(n&1)
		result=result*flag%1000000007;
		flag=flag*flag%1000000007;
		n/=2;
	 } 
	 return result%1000000007;
}
int main()
{
	int t,n,k;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int i;
		long long sum=0;
		scanf("%d %d",&n,&k);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			sum+=pow(i,k)%1000000007;
		 } 
		 printf("%lld\n",sum%1000000007);
	}
	return 0;
}

 

### HDU OJ Problem 2566 Coin Counting Solution Using Simple Enumeration and Generating Function Algorithm #### 使用简单枚举解硬币计数问题 对于简单的枚举方法,可以通过遍历所有可能的组合方式来计算给定面额下的不同硬币组合数量。这种方法虽然直观但效率较低,在处理较大数值时性能不佳。 ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int[] coins = {1, 2, 5}; // 定义可用的硬币种类 while (scanner.hasNext()) { int targetAmount = scanner.nextInt(); int countWays = findNumberOfCombinations(targetAmount, coins); System.out.println(countWays); } } private static int findNumberOfCombinations(int amount, int[] denominations) { if (amount == 0) return 1; if (amount < 0 || denominations.length == 0) return 0; // 不使用当前面值的情况 int excludeCurrentDenomination = findNumberOfCombinations(amount, subArray(denominations)); // 使用当前面值的情况 int includeCurrentDenomination = findNumberOfCombinations(amount - denominations[0], denominations); return excludeCurrentDenomination + includeCurrentDenomination; } private static int[] subArray(int[] array) { if (array.length <= 1) return new int[]{}; return java.util.Arrays.copyOfRange(array, 1, array.length); } } ``` 此代码实现了通过递归来穷尽每一种可能性并累加结果的方式找到满足条件的不同组合数目[^2]。 #### 利用母函数解决硬币计数问题 根据定义,可以将离散序列中的每一个元素映射到幂级数的一个项上,并利用这些多项式的乘积表示不同的组合情况。具体来说: 设 \( f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}{a_i*x^i}\),其中\( a_i \)代表当总金额为 i 时能够组成的方案总数,则有如下表达式: \[f_1(x)=(1+x+x^2+...)\] 这实际上是一个几何级数,其封闭形式可写作: \[f_1(x)=\frac{1}{(1-x)}\] 同理,对于其他类型的硬币也存在类似的生成函数。因此整个系统的生成函数就是各个单独部分之积: \[F(x)=f_1(x)*f_2(x)...*f_n(x)\] 最终目标是从 F(x) 中提取系数即得到所需的结果。下面给出基于上述理论的具体实现: ```cpp #include<iostream> using namespace std; const int MAXN = 1e4 + 5; int dp[MAXN]; void solve() { memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0] = 1; // 初始化基础状态 int values[] = {1, 2, 5}, size = 3; for (int j = 0; j < size; ++j){ for (int k = values[j]; k <= 10000; ++k){ dp[k] += dp[k-values[j]]; } } } int main(){ solve(); int T; cin >> T; while(T--){ int n; cin>>n; cout<<dp[n]<<endl; } return 0; } ``` 这段 C++ 程序展示了如何应用动态规划技巧以及生成函数的概念高效地解决问题实例[^1]。
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