求和(i^k)表达式来了

最新推荐文章于 2024-06-21 17:33:35 发布

Satchmo

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分类专栏：计算数学文章标签：数学公式

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博客给出了求和(i^k)的表达式，还表示若有进一步规律，可由读者自行总结。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$S_{k}=\sum_{i=1}^{n} i^{k}=\frac{1}{k+1}[\sum_{i=1}^{k+1}(C_{k+1}^{i}n^{i})-\sum_{i=0}^{k-1}(C_{k+1}^{i}S_{i})]$

$S_{0}=n$ ， $(p=n(n+1),q=n+\frac{1}{2})$

$S_{1}=\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{1}{2}p$

$S_{2}=\frac{1}{3}n(n+1)(n+\frac{1}{2})=\frac{1}{3}pq$

$S_{3}=\frac{1}{4}n(n+1)n(n+1)=\frac{1}{4}pp$

$S_{4}=\frac{1}{5}n(n+1)(n+\frac{1}{2})[n(n+1)-\frac{1}{3}]=\frac{1}{5}pq(p-\frac{1}{3})$

$S_{5}=\frac{1}{6}n(n+1)n(n+1)[n(n+1)-\frac{1}{2}]=\frac{1}{6}pp(p-\frac{1}{2})$

$S_{6}=\frac{1}{7}n(n+1)(n+\frac{1}{2})\left \{n(n+1)[n(n+1)-1]+\frac{1}{3}\right \}=\frac{1}{7}pq(p(p-1)+\frac{1}{3})$

$S_{7}=\frac{1}{8}pp(p^{2}-\frac{4}{3}p+\frac{2}{3})$

$S^{8}=\frac{1}{9}pq(p^{3}-2p^{2}+\frac{9}{5}p-\frac{3}{5})$

$S_{9}=\frac{1}{10}pp(p^{3}-\frac{5}{2}p^{2}+3p-\frac{3}{2})$

$S_{10}=\frac{1}{11}pq(p^{4}-\frac{10}{3}p^{3}+\frac{17}{3}p^{2}-5p+\frac{5}{3})$

$S_{25}=\frac{1}{26}pp(p^{11}-\frac{143}{6}p^{10}+\frac{1079}{3}p^{9}-\frac{8437}{2}p^{8}+\frac{119405}{3}p^{7}-\frac{897676}{3}p^{6}+\frac{12228332}{7}p^{5}-7629346p^{4}+23651185p^{3}-\frac{673689375}{14}p^{2}+\frac{1181820455}{21}p-\frac{1181820455}{42})$

若有再进一步的规律就交给大家去总结了。

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