【Applied Algebra】扩域(Galois域)上的计算及其实现

扩域上(Galois域)的计算及其实现

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有限域 $F$ 的特征为素数 $p$; 它可以视作素域 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的 $n(n<\infty )$ 维线性空间, 从而 $|F|=p^n$; $F$ 的加法群可视作 $n$ 个 $p$ 阶循环群的直和; 其乘法群是 $p^n-1$ 阶循环群, 从而 $F$ 是 ${\mathbb{Z}}_p$ 的单扩域 ${\mathbb{Z}}_p(u)$, 其中 $u$ 是 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的 $n$ 次代数元; $F$ 恰是多项式 $x^{p^n}-x\in {\mathbb{Z}}_p[x]$ 的 $p^n$ 个根作成的集合, 又恰为 $x^{p^n}-x\in {\mathbb{Z}}_p[x]$ 在 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的分裂域; 从而 $p^n$ 元域总存在, 且在同构意义下唯一. $p^n$ 元域 $F$ 的自同构群恰为 Galois 群 $\mathrm{Gal}\left(F/{\mathbb{Z}}_p\right)$ : 它是由 Frobenius 自同构 $a\mapsto a^p$ 生成的 $n$ 阶循环群.虽然这样的域在近世代数的学习中已然是老生常谈,但是今天我们会给出它的c++计算实现.

扩域上的计算

密码学中通常会考虑${\mathbb{F}}_2$上及对应多项式环上的计算,这是由计算机的二进制基础决定的,但是随着加密解密方法的进展,很多加密协议及分析中会考虑很多扩域的计算,在本文中我们希望能实现${\mathbb{F}}_{p^n}$上的计算.

例:假设计算${\mathbb{F}}_{2^4}$上的元素,根据${\mathbb{F}}_{2^4}\cong {\mathbb{F}}_2/f(x)$,这里设$f(x)=x^4+x^3+1$为不可约多项式;${\mathbb{F}}_{2^4}$中洽有$16$个元素吗,${\mathbb{F}}_2/f(x)$中的元素可以表示为小于$4$次的多项式,根据每一项出现与否({ x3,x2,x,1}\{x^3,x^2,x,1\}{