【Applied Algebra】扩域(Galois域)上的乘加法表构造

【Applied Algebra】扩域(Galois域)上的乘法表构造

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在之前的文章里,我们讨论了扩域上(Galois域)的计算及其实现,但是侧重的是扩域中元素之间运算的细节实现,而如果想描述整个域的结构,就需要构造乘法表和加法表;实现仍然是基于c++和符号计算库GiNaC;

运算表及其设计

考虑${\mathbb{F}}_{p^n}$上的元素,根据${\mathbb{F}}_{p^n}\cong {\mathbb{F}}_p/f(x)$,比如计算${\mathbb{F}}_{2^4}$上的元素,根据${\mathbb{F}}_{2^4}\cong {\mathbb{F}}_2/f(x)$,这里设$f(x)=x^4+x^3+1$为不可约多项式;${\mathbb{F}}_{2^4}$中洽有$16$个元素,${\mathbb{F}}_2/f(x)$中的元素可以表示为小于$4$次的多项式,根据每一项出现与否({ x3,x2,x,1}\{x^3,x^2,x,1\}{ x3,x2,x,1})也恰有16个多项式,那么和${\mathbb{F}}_{2^4}$中的元素一一对应,因此${\mathbb{F}}_{2^4}$亦可表示为:

F24={ 0000,0001,...,1111}\mathbb{F}_{2^4} = \{0000,0001,...,1111\}F24​={ 0000,0001,...,1111}

更一般地,我们设${\mathbb{F}}_{p^n}$形如Fpn={ g1,g2,⋯ ,gN}\mathbb{F}_{p^n} = \{g_1,g_2,\cdots,g_N\}F