8、弱多态类型系统的形式化与验证

弱多态类型系统的形式化与验证

1. 弱多态系统基础

在弱多态系统中，存在一些类型推导规则。例如：
- $\Gamma \vdash e : \forall\alpha.S$ 表示在上下文 $\Gamma$ 中，表达式 $e$ 具有类型 $\forall\alpha.S$。
- $\Gamma \vdash e : S[\alpha := \tau]$ 意味着可以将类型变量 $\alpha$ 实例化为 $\tau$。
- 当 $\alpha$ 不在 $\Gamma$ 中自由出现时，有 $\Gamma \vdash e : S$ 可推出 $\Gamma \vdash e : \forall\alpha.S$。

对于这个系统，可以证明主类型结果，为了归纳生成类型约束，可将系统转换为“语法导向”的系统，不过这里暂不深入细节。

1.1 标记类型

在弱多态的类型算法中，需要区分两种类似替换的操作：
- 实例化 ：影响（量化的）方案变量，但不影响其他（自由）变量。
- 求解替换 ：限制在辅助类型变量（表示方程中的未知数）。

为了清晰形式化，引入标记类型变量和两种对标记类型的替换操作。标记的一阶类型集合 $T$ 由普通或标记的类型变量构建：
$T ::= V | \underline{V} | T \to T$

设 $\sigma \in T$ 且 $\ast: V \to T$ 是一个替换，实例化效果 $[\sigma]\ast$ 定义如下：
- $[\alpha]\ast = \alp