52、自适应子模最大化与预算约束下的作业分配问题

自适应子模最大化与预算约束下的作业分配问题

1 自适应子模最大化相关内容

1.1 部分自适应贪心策略的近似比

在自适应子模且自适应单调的函数 (f : 2^E × O_E → R_{\geq0}) 中，部分自适应贪心策略 (\pi_p) 满足以下不等式：
[f_{avg}(\pi_p^t) - f_{avg}(\pi_p^{t - 1}) \geq \frac{\alpha}{k} (f_{avg}(\pi^ @ \pi_p^{t - 1}) - f_{avg}(\pi_p^{t - 1})) \geq \frac{\alpha}{k} (f_{avg}(\pi^ ) - f_{avg}(\pi_p^{t - 1}))]
通过对 (t) 进行归纳，可得 (f_{avg}(\pi_p) \geq (1 - e^{-\alpha})f_{avg}(\pi^*))。这表明部分自适应贪心策略 (\pi_p) 在期望上能达到 (1 - e^{-\alpha}) 的近似比。

1.2 背包约束下的策略设计

当考虑背包约束 (B) 时，我们开发了一种部分自适应策略，该策略允许在单个批次中选择多个项目。此策略的自适应程度为 (\alpha)，相对于最优完全自适应策略，能达到 (\frac{1}{6 + \frac{4}{\alpha}}) 的近似比。

1.2.1 算法设计

我们构建了两个候选策略：
- 第一个策略：总是选择具有最大期望效用的单个项目 (o)，即 (o \in \arg\max_{e \in E} E_{\Phi \sim p(\varphi)}[f({e},