35、图论中的余安全支配与双边偏好下的最优成本分配

图论中的余安全支配与双边偏好下的最优成本分配

在图论的研究中，余安全支配问题和双边偏好下的最优成本分配问题是两个重要的研究方向。下面我们将详细探讨这两个问题的相关内容。

余安全支配问题

在链图的余安全支配问题研究中，有几个重要的引理和定理。
- 引理10 ：设 $G$ 是一个链图，$X$ 和 $Y$ 中各自最多有一个悬挂顶点。若 $|X| = 3$ 或 $|Y| = 3$，则 $\gamma_{cs}(G) = 3$；否则，$\gamma_{cs}(G) = 4$。
- 引理11 ：设 $G$ 是一个链图且 $k \geq 3$，分以下三种情况：
1. 若 $X$ 中有多于一个悬挂顶点，而 $Y$ 中最多有一个悬挂顶点。定义 $G’ = G[\cup_{i = 2}^{k}(X_{i} \cup Y_{i})]$，则 $\gamma_{cs}(G) = |X_{1}| + \gamma_{cs}(G’)$。
2. 若 $Y$ 中有多于一个悬挂顶点，而 $X$ 中最多有一个悬挂顶点。定义 $G’ = G[\cup_{i = 1}^{k - 1}(X_{i} \cup Y_{i})]$，则 $\gamma_{cs}(G) = |Y_{k}| + \gamma_{cs}(G’)$。
3. 若 $X$ 和 $Y$ 中都有多于一个悬挂顶点。定义 $G’ = G[\cup_{i = 2}^{k - 1}(X_{i} \cup Y_{i})]$，则 $\gamma_{cs}(G) = |X_{1}| + |Y_{k}| + \gamma_{cs}(G’)$。

基于这些引