20、带凸性约束的最小外科探测问题研究

带凸性约束的最小外科探测问题研究

在图论的研究中，带凸性约束的最小外科探测问题（CMSP）是一个具有重要意义的研究方向。本文将围绕CMSP展开，介绍相关的图凸性概念，分析不同类型图的CMSP求解情况，并给出相应的算法和结论。

图的凸性

图的凸性是一个被广泛研究的概念。对于一个简单图 $G = (V, E)$，其中 $V = {1, \ldots, n}$，一个二进制标签向量 $\ell \in {0, 1}^n$ 为每个顶点分配一个标签。标签向量 $\ell$ 的支撑集是 $\sum_{i \in V} \ell_i$。

图的凸性空间定义为 $(V, C)$，其中 $C \subseteq 2^{|V|}$ 是 $V$ 的子集族，$C$ 中的元素称为凸集。对于 $U \subseteq V$，凸包 $\langle U \rangle_C$ 是包含 $U$ 的最小凸集。如果 $(V, C)$ 是凸性空间，且对于任意 $U \in C$，$G[U]$ 是连通的，则 $(G, C)$ 是图凸性空间。

路径凸性是最自然的图凸性之一，由区间函数 $I : V \times V \to 2^V$ 定义。区间函数可扩展到子集 $U \subseteq V$，即 $I(U) = \bigcup_{u, v \in U} I(u, v)$。对于路径凸性，凸包 $\langle U \rangle_C$ 由 $I(U)$ 给出。若 $I(U) = U$，则集合 $U$ 是凸的，即 $U$ 在算子 $I$ 下是封闭的。

我们考虑基于最短路径和无弦路径的凸性：
- 测地凸性 ：$I_G^g(u, v) = {w \