34、基于顶点覆盖的割宽问题研究

基于顶点覆盖的割宽问题研究

1. 割宽计算算法

割宽（Cutwidth）是图论中的一个重要概念，对于图 (G=(C \cup I, E))，其中 (C) 是图 (G) 的顶点覆盖。通过观察发现 (cw(G) = \min_{v\in C} T (S, v))，因为在任何排序 (\sigma) 中，所有独立集 (I) 中出现在顶点覆盖 (C) 最后一个顶点之后的顶点的秩都为负。基于此，我们可以得到一个动态规划算法来计算割宽，该算法的运行时间为 (O(2^k n^{O(1)}))，其中 (k) 是顶点覆盖的基数，(n) 是图的顶点数。

由此可以得出一个重要结论：存在一个算法，对于给定的图 (G=(C \cup I, E))，能在运行时间 (O(2^{|C|}(|C| + |I|)^{O(1)})) 内计算出图 (G) 的割宽。特别地，对于二分图的最小割宽问题，可以在时间 (O(2^{n/2} n^{O(1)})) 内解决，这里 (n) 是输入图的顶点数。

2. 核化下界

接下来我们探讨割宽问题基于顶点覆盖参数化的核化下界。目标是证明除非 (NP \subseteq coNP/poly)，否则该问题不存在多项式核。我们通过两个步骤来完成这个证明。

2.1 辅助问题：超图最小二等分问题

首先引入一个辅助问题——超图最小二等分问题（Hypergraph Minimum Bisection）。设 (H = (V, E)) 是一个有 (|V| = n) 个顶点的多重超图，且 (n) 为偶数。(V) 的一个二等分是一个染色函数 (B: V \to {0, 1})，使得 (|B^{-1}(0)| = |B^{-1}(1)| = n