4、分数微积分、C0 - 半群与希尔伯特唯一性方法解析

分数微积分、C0 - 半群与希尔伯特唯一性方法解析

1. 分数微积分

分数微积分是数学领域中一个重要的分支，它拓展了传统整数阶微积分的概念。在分数微积分中，我们主要关注黎曼 - 刘维尔分数积分和导数，以及卡普托分数导数。

1.1 黎曼 - 刘维尔分数积分和导数的拉普拉斯变换

若函数 (f) 至多呈指数增长，根据相关公式，黎曼 - 刘维尔分数积分的拉普拉斯变换为：
[
L\left{ {0}I^{\alpha} {x}f(x)\right} = L\left{\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{x}(x - \tau)^{\alpha - 1}f(\tau)d\tau\right} = s^{-\alpha}F(s)
]
其中 (F(s)) 是函数 (f) 的拉普拉斯变换。

对于黎曼 - 刘维尔分数导数，利用定义和一般结果，对于任意 (\alpha \in (n - 1, n])，有：
[
L\left{ {0}D^{\alpha} {x}f(x)\right} = s^{\alpha}L{f(x)} - \sum_{k = 0}^{n - 1}s^{n - 1 - k} {0}D^{k - n + \alpha} {x}f(x)\big|_{x = 0}
]
通过与分数积分的拉普拉斯变换公式对比，我们可以看出黎曼 - 刘维尔分数积分和导数之间的差异与相似之处，并且当 (\alpha) 为整数时，就退化为整数阶的情况。

1.2 卡普托分数导数

卡普托分数导