24、边界控制系统的可控性及相关数学空间理论

边界控制系统的可控性及相关数学空间理论

1. 加热系统的近似可控性

1.1 边界控制系统的基本形式

对于边界控制系统，有如下定理对应的形式：
[y(t) = S(t)x + (\lambda -A)\int_{0}^{t}S(t -s)gu(s) ds, t \in[0, T], u \in L^p[0, T]]
其中 (g \in H)，(A) 是自伴生成元，具有不同的特征值 (\lambda_n)（(n = 1, 2, \cdots) 且趋于 (-\infty)）以及完备的特征向量系统 (e_n)（(n = 1, 2, \cdots)）。

1.2 近似可控性定理

• 定理 1 ：若对于每个 (n = 1, 2, \cdots)，(\langle g, e_n\rangle\neq 0)，且 (p) 是大于 1 的数，则边界控制系统是近似可控的。
  • 证明思路 ：固定 (r \in(0, T))，由于算子 ((\lambda -A)S(r)) 有界，对于 (u(s) = 0)（(s \in[0, r])）的函数 (u)，有 ((\lambda -A)\int_{0}^{T}S(s)gu(s) ds =\int_{0}^{T}(T -r)S(s)(\lambda -A)S(r)gu(s + r) ds)。令 (h = (\lambda -A)S(r)g)，则 (\langle h, e_n\rangle= (\lambda -\lambda_n)e^{r\lambda_n}\langle g, e_n\rangle\ne