2、异常扩散过程的建模与分析：从理论到应用

异常扩散过程的建模与分析：从理论到应用

1. 新挑战：异常扩散与传统定律的局限

在许多实际的扩散过程中，传统的菲克定律面临着挑战。菲克定律是描述均匀介质中扩散过程的标准定律，但越来越多的实验数据和现场测量表明，由于扩散过程中介质的内在不均匀性，菲克定律并不适用。这种在不均匀介质中的扩散过程被称为异常扩散过程，它们在自然科学中普遍存在，具有记忆和遗传效应、路径依赖以及全局连接等特性。

异常扩散过程的特点可以总结如下：
- 通常包含大量不同的基本单元，且这些基本单元之间存在强烈的相互作用。
- 随着时间的演变，异常扩散的演化是不可预测的，其时间演化通常偏离相应的标准定律。
- 是一种非局部过程，不满足傅里叶热传导定律和菲克扩散定律。

许多复杂的现实动态系统往往具有异常扩散特性，例如金融市场的价格波动、自然环境中污染物的移动、高温高压下等离子体的运动，以及软材料的扩散、耗散和渗透等。从物理建模的角度来看，经典的整数阶导数是局部算子，不适合描述非局部过程。而分数阶导数算子实际上是一种积分 - 微分卷积算子，具有幂律类型的（弱奇异）核。这意味着分数阶导数算子可以很好地反映具有记忆和遗传效应、路径依赖或全局连接等特性的动态过程。因此，分数阶扩散系统能够自然地描述非局部传输，表现出更好的性能。

近年来，异常扩散建模引起了越来越多的关注。特别是在引入连续时间随机游走（CTRW）之后，由于它与时间分数阶扩散方程密切相关，许多研究都围绕这一领域展开。这是因为从异常扩散过程中测量的数据满足幂律函数，而分数阶微分方程的解也具有相同的特性。

2. 连续时间随机游走与分数动力学方法

2.1 连续时间随机游走（CT