逆元与组合数

最新推荐文章于 2025-01-09 14:56:16 发布

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本文介绍了线性逆元的概念及其实现方法，利用模P意义下的逆元计算原理进行快速预处理，实现O(N)时间内求解逆元，并通过组合数计算的应用展示了其高效性。

线性逆元打表

$inv[i]$ 为模 $P$ （P需要是质数）意义下 $i$ 的逆元，那么有 $inv[i]=(P-\frac{P}{i})×inv[P$ % $i]$ % $P$ 。
写成代码如下。

ll inv[N];
inv[0] = 1; inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; ++i)  inv[i] = (P - P/i) * inv[P % i] % P;

一般用于 $O(N)$ 预处理、 $O(1)$ 求组合数。

ll inv[N], f[N];

inline ll C(int n, int m) {
    return f[n] * inv[m] % P * inv[n - m] % P;
}

inv[0] = 1; inv[1] = 1; f[0] = 1; f[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; ++i)  inv[i] = (P - P/i) * inv[P % i] % P;
for(int i = 2; i < N; ++i) {
    f[i] = f[i - 1] * i % P;
    inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % P;
}