P3128 [USACO15DEC]最大流Max Flow

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本文探讨了在给定多条路径的情况下，如何利用差分数组高效计算被经过最多次数的点。通过构建图结构并使用深度优先搜索(DFS)和最近公共祖先(LCA)算法，实现了对每条路径上节点的计数，最终找到被经过次数最多的点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题：给定n条路径，求被经过最多的点被经过的次数。

设差分数组 $cnt[i]$ ，那么对于任意一条路径 $(u,v)$ ,我们可以这么更新 $cnt$ 数组：

$cnt[u]+=1,cnt[v]+=1,cnt[LCA(u,v)]-=1,cnt[fa[LCA(u,v)]]-=1$

最终点 $i$ 被经过的次数( $ans_{i}$ ):

$ans_{i}=cnt_{i}+\sum_{j}^{j\in son_{i}}cnt_{j}$

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=100020;
int n,k,m,u[MAXN],v[MAXN],fst[MAXN],nxt[MAXN],xi,yi,ans;
int fa[MAXN][16],deep[MAXN],cnt[MAXN];

void dfs(int x,int father,int dep)
{
	fa[x][0]=father,deep[x]=dep;
	for(ri i=1;(1<<i)<=deep[x];i++)
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for(ri k=fst[x];k>0;k=nxt[k])
		if(v[k]!=father)	dfs(v[k],x,dep+1);
}

int LCA(int x,int y)//求LCA
{
	if(deep[x]<deep[y])	 swap(x,y);
	int step=deep[x]-deep[y];
	for(ri i=15;i>=0;i--)
		if(step&(1<<i))	 x=fa[x][i];
	if(x==y)	return x;
	for(ri i=15;i>=0;i--)
	{
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
		{
			x=fa[x][i];
			y=fa[y][i];
		}
	}
	return fa[x][0];
}

void dfs2(int x)//累加数组cnt的值，最终统计出来的cnt[i]即为点i被经过的次数。
{
	for(ri k=fst[x];k>0;k=nxt[k])
		if(v[k]!=fa[x][0])
		{
			dfs2(v[k]);
			cnt[x]+=cnt[v[k]];
		}
	ans=max(ans,cnt[x]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	m=(n-1)<<1;
	for(ri i=1;i<=m;i+=2)
	{
		scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
		nxt[i]=fst[u[i]],fst[u[i]]=i;
		u[i+1]=v[i],v[i+1]=u[i];
		nxt[i+1]=fst[u[i+1]],fst[u[i+1]]=i+1;
	}
	dfs(1,0,0);
	for(ri i=1;i<=k;i++)	
	{
		scanf("%d%d",&xi,&yi);
		int now=LCA(xi,yi);
		cnt[xi]+=1,cnt[yi]+=1,cnt[fa[now][0]]-=1,cnt[now]-=1;
	}
	dfs2(1);
	cout<<ans;
	return 0;
}