系统结构考点之浮点数大题

前面总结过，系统结构考点之浮点数格式化,但还是只是一些概念上的说明，对于计算题还是没有系统的总结。

如题 2020年8月

分析

要计算的部分还是挺多的。

基础知识

看上篇，写了个IEEE754标准？是什么来？？

单精度浮点数（共32位）：
1个符号位
8个指数位
23个小数位

双精度浮点数（共64位）：
1个符号位
11个指数位
52个小数位
符号位决定了一个数的正负，指数部分决定了数值的大小，小数部分决定了数值的精度。
IEEE754 规定，有效数字第一位默认总是1 。因此，在表示精度的位数前面，还存在一个 “隐藏位” ，固定为 1 ，但它不保存在 64 位浮点数之中。也就是说，有效数字总是 1.xx…xx 的形式。

最重要的知识点，看懂这个图，就完成了第二章

这张表看起来不复杂，难点rm,m,m'这些表示什么！ 从这张表中，分析题目给出的条件：计算机阶值4，也就是p=4,尾数15位 m=15，计算机中一定是用二进制位来表示的。 尾基为8位， rm=8 $log_2rm$:表示1个数位用多少bit位来表示。下面是具体的表分析：

从这些已知条件中，可以得到尾数的数位为 $m^{\prime }=m/lo{g}_{2}rm=15/3=5$,直接套用表中的公式，可得到的结果为：

1. 最小阶值：表中只给出了最大阶值。这里就要看题了，不考虑符号，最小可不就是0

2. 最大阶值，2^p-1 =2^4-1=15

3. 阶的个数：2^p =2^4=16

4. 最小尾数值：1 X rm^-1=1/8

5. 最大尾数值：1 - rm^(-m’) =1-8^(-5)

6. 可表示的最小值：rm^-1=1/8

7. 可表示的最大值：rm^ (2^p-1) X (1-rm^(-m’) = 8 ^15- (1-8^(-5))

8. 可表示数的个数：2^p x 2^m’ x (rm - 1 )/rm=16 X 2^5 X 7/8=7X2^6

扩展（相关原理）

阶值 p 尾数 m位,使用二进制表示 尾数数位 m’；

阶 最大/小值 个数

Pmin=0;
Pmax=2 ^ p -1;(前提都是非负阶，正尾数，规格化)
个数：2^p

尾数 最大/小值 个数

最小尾数= rm ^ (-1);//规格化要求

最大尾数=所有位数全是1就是最大尾数=0.111…。
所以二进制下，0.11111…+1=1.0000…所以最大尾数等于1 - rm^(-m’)

尾数个数：一共m’个位，所有所表示的数的个数就是rm^(m’)包括了规格化的和非规格化的数的个数。
因为只讨论的是规格化的，所以需要把非规格化的个数排除在外。非规格化就是小数点后第1个数位为0.非规格化就是rm^(m’) x rm ^(-1).
所以尾数个数=rm^(m’) x (1-rm ^(-1))

尾数规格化

小数点后第一个数位不为0的数。

可表示浮点数的范围 大/小值，个数

浮点数=尾数 X 基数^(阶值)

最大值=最大尾数 X 基数^(最大阶)=(1 - rm^(-m’)) X rm^(2 ^ p -1)

最小值=最小尾数 X 基数^(最小阶)=(rm ^ (-1)) X rm^(0)=rm ^ (-1)

个数=尾数个数 X 阶的个数 =(rm^(m’) x (1-rm ^(-1)))X(2p)

尾数下溢处理方式

	实现难度	最大误差	平均误差	可调节	运算速度
截断法	最简单	大	大	否	最快
舍入 法	简单	比较小	趋于0	否	慢
恒置1法	简单	最大	趋于0	否	快
ROM查表	较为复杂	无	调节为0	可	比较快

ROM查表法规则

用k表示原尾数位数，k-1处理后的尾数

1. 地址码用k位表示
2. ROM表共需要2^k个单元，每个单元存储字长为k-1位。
3. k位地址码，如果高k-1位，全为1，那么对应的内容就是全1
   k地址码最低位为0就舍掉，为1就进1