离散数学复习之集合

本来打算，只过一遍，但实在是一点印象都没有，还是延续之前的方法吧。尽管不一定会考。

集合

集合的基本概念

集合：一些离散个体组成的全体
集合中的元素不能重复出现，并且，次序无关紧要。

区分元素与集合，集合之间的关系

元素与集合间是种隶属关系，集合与集合间是包含与被包含的关系。
判断元素是否属于集合，主要看大括号里面有没有（注意是完整的，尤其是对{{大括号嵌套}}，要看成是一个元素。）

集合间关系

空集：不含任何元素的集合，用$\phi$来表示。 基本结论：空集是任何集合的子集。推理：空集是惟一的。 全集：在给定的问题中，全集包含任何集合，用E来表示。 ### 集合特殊的表示方法 列元素法：A={a,b,c} 谓词表示法：B={x | P(x)},B由使得P(x)为真的x构成。 常用数集：N 自然数、Z 整数、 Q 有理数、 R 实数、 C 复数

幂集概念

P(A)={x | x $\subseteq$A},称为集合A的幂集。所有的A的子集，所构成的新的集合，就是A的幂集。
A的个数为n的话，幂集元素个数为2^n。

集合的运算

并、交、补、差、对称差

文氏图表示：

有限集合的计数（了解）

加法原理

三个元素时：

集合的运算的基本规律

集合相等证明 重点

互为子集法证明集合相等

X$\subseteq$Y,Y$\subseteq$X

集合运算法

用集合运算的定律

反证法（通常在证明某集合等于空集时使用）

假设A不等于空集，然后找出一个元素属于A,变相证明A不是空集。

有序对与笛卡尔积

按照一定的顺序组成的二元组，称为有序对，记作：<x,y>
性质1：<x,y> $\ne$ <y,x> (当 x$\ne$ y时)
性质2：<x,y>=<u,v> $\Rightarrow$ x=u $\bigwedge$ y=v
可推广到n元组。

笛卡尔乘积

设A,B为集合，A X B，也称为直积，A X B={<x,y> | x $\in$ A $\bigwedge$ y$\in$ B }

计算笛卡尔积

• 不适合交换律 A X B $\ne$ B X A (A$\ne$ $\varnothing$,B$\ne$ $\varnothing$,A$\ne$B)

• 不适合结合律 (A X B) X C $\ne$ A X (B X C) (A$\ne$ $\varnothing$,B$\ne$ $\varnothing$)

• 对于并或交满足分配律
  

• A X $\varnothing$=$\varnothing$XB=$\varnothing$

• $\mid$A $\mid$=m,$\mid$B $\mid$=n,则$\mid$AXB $\mid$=mn

证明笛卡尔积的运算规律

详见课本。