离散数学复习之集合


本来打算,只过一遍,但实在是一点印象都没有,还是延续之前的方法吧。尽管不一定会考。

集合

集合的基本概念

集合:一些离散个体组成的全体
集合中的元素不能重复出现,并且,次序无关紧要。

区分元素与集合,集合之间的关系

元素与集合间是种隶属关系,集合与集合间是包含与被包含的关系。
判断元素是否属于集合,主要看大括号里面有没有(注意是完整的,尤其是对{{大括号嵌套}},要看成是一个元素。)

集合间关系
空集:不含任何元素的集合,用$\phi$来表示。 基本结论:空集是任何集合的子集。推理:空集是惟一的。 全集:在给定的问题中,全集包含任何集合,用E来表示。 ### 集合特殊的表示方法 列元素法:A={a,b,c} 谓词表示法:B={x | P(x)},B由使得P(x)为真的x构成。 常用数集:N 自然数、Z 整数、 Q 有理数、 R 实数、 C 复数

幂集概念

P(A)={x | x ⊆ \subseteq A},称为集合A的幂集。所有的A的子集,所构成的新的集合,就是A的幂集。
A的个数为n的话,幂集元素个数为2^n。

集合的运算

并、交、补、差、对称差

文氏图表示:

有限集合的计数(了解)

加法原理

三个元素时:

集合的运算的基本规律

集合相等证明 重点

互为子集法证明集合相等

X ⊆ \subseteq Y,Y ⊆ \subseteq X

集合运算法

用集合运算的定律

反证法(通常在证明某集合等于空集时使用)

假设A不等于空集,然后找出一个元素属于A,变相证明A不是空集。

有序对与笛卡尔积

按照一定的顺序组成的二元组,称为有序对,记作:<x,y>
性质1:<x,y> ≠ \neq = <y,x> (当 x ≠ \neq = y时)
性质2:<x,y>=<u,v> ⇒ \Rightarrow x=u ⋀ \bigwedge y=v
可推广到n元组。

笛卡尔乘积

设A,B为集合,A X B,也称为直积,A X B={<x,y> | x ∈ \in A ⋀ \bigwedge y ∈ \in B }

计算笛卡尔积

  • 不适合交换律 A X B ≠ \neq = B X A (A ≠ \neq = ∅ \emptyset ,B ≠ \neq = ∅ \emptyset ,A ≠ \neq =B)

  • 不适合结合律 (A X B) X C ≠ \neq = A X (B X C) (A ≠ \neq = ∅ \emptyset ,B ≠ \neq = ∅ \emptyset )

  • 对于并或交满足分配律

  • A X ∅ \emptyset = ∅ \emptyset XB= ∅ \emptyset

  • ∣ \mid A ∣ \mid =m, ∣ \mid B ∣ \mid =n,则 ∣ \mid AXB ∣ \mid =mn

证明笛卡尔积的运算规律

详见课本。

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