集合与关系
本来打算,只过一遍,但实在是一点印象都没有,还是延续之前的方法吧。尽管不一定会考。
集合
集合的基本概念
集合:一些离散个体组成的全体
集合中的元素不能重复出现,并且,次序无关紧要。
区分元素与集合,集合之间的关系
元素与集合间是种隶属关系,集合与集合间是包含与被包含的关系。
判断元素是否属于集合,主要看大括号里面有没有(注意是完整的,尤其是对{{大括号嵌套}},要看成是一个元素。)
集合间关系

幂集概念
P(A)={x | x
⊆
\subseteq
⊆A},称为集合A的幂集。所有的A的子集,所构成的新的集合,就是A的幂集。
A的个数为n的话,幂集元素个数为2^n。
集合的运算
并、交、补、差、对称差

文氏图表示:
有限集合的计数(了解)
加法原理
三个元素时:
集合的运算的基本规律



集合相等证明 重点
互为子集法证明集合相等
X ⊆ \subseteq ⊆Y,Y ⊆ \subseteq ⊆X
集合运算法
用集合运算的定律
反证法(通常在证明某集合等于空集时使用)
假设A不等于空集,然后找出一个元素属于A,变相证明A不是空集。
有序对与笛卡尔积
按照一定的顺序组成的二元组,称为有序对,记作:<x,y>
性质1:<x,y>
≠
\neq
= <y,x> (当 x
≠
\neq
= y时)
性质2:<x,y>=<u,v>
⇒
\Rightarrow
⇒ x=u
⋀
\bigwedge
⋀ y=v
可推广到n元组。
笛卡尔乘积
设A,B为集合,A X B,也称为直积,A X B={<x,y> | x ∈ \in ∈ A ⋀ \bigwedge ⋀ y ∈ \in ∈ B }
计算笛卡尔积
-
不适合交换律 A X B ≠ \neq = B X A (A ≠ \neq = ∅ \emptyset ∅,B ≠ \neq = ∅ \emptyset ∅,A ≠ \neq =B)
-
不适合结合律 (A X B) X C ≠ \neq = A X (B X C) (A ≠ \neq = ∅ \emptyset ∅,B ≠ \neq = ∅ \emptyset ∅)
-
对于并或交满足分配律
-
A X ∅ \emptyset ∅= ∅ \emptyset ∅XB= ∅ \emptyset ∅
-
∣ \mid ∣A ∣ \mid ∣=m, ∣ \mid ∣B ∣ \mid ∣=n,则 ∣ \mid ∣AXB ∣ \mid ∣=mn
证明笛卡尔积的运算规律
详见课本。