数据结构复习之哈夫曼树及应用

最优二叉树,必考的内容，软考已经搞懂了，只是记录下。

哈夫曼树

概念

树的路径长度

从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

带权路径长度wpl

结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。

结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。

树的带权路径长度(WPL)：定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和。

哈夫曼树

带权路径长度WPL最小的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。

哈夫曼算法

构造哈夫曼树方法

步骤：
① 将给定的权值按照从小到大排列成｛W1，W2，…，Wm｝，并且构造出树林F=｛Tl，T2，…，Tm｝。此时，其中的每棵树Ti (1≤i≤m）为左、右子树均为空的二叉树，二叉树的根结点的权值为Wi 。

② 把F中树根结点的权值最小的两棵二叉树T1和T2合并为一棵新的二叉树T（T的左子树为T1，右子树为T2），并令T的根结点的权值为T1和T2的根结点的权值之和，然后将T按其根结点的权值大小依次加入到树林F中。同时，从F中删去T1和T2这两棵二叉树。简言之，找两个最小的，合成一个,就删除这两个数，将合成的再加入到森林中，再找最小的两个合成一棵树…

③ 重复步骤②，直到构造成一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的特点

① 在哈夫曼树中，权值越大的叶子离根结点越近。
② 若有n0个权值，需要进行n0-1次合并，构造成为哈夫曼树。
③ 哈夫曼树没有度为1的结点。
④ 由n0个权值构成的哈夫曼树，叶结点数为n0，度为2的结点数为 n0-1（二叉树的性质3），结点总数为n0+ n2= n0+ n0-1=2n0-1。
⑤ 给定一组权值，构造出的哈夫曼树的形态可能不唯一，但它们的带权路径长度都一样。

哈夫曼编码

编码和解码

数据压缩过程称为编码。即将文件中的每个字符均转换为一个唯一的二进制位串。

数据解压过程称为解码。即将二进制位串转换为对应的字符。

前缀码方案

对字符集进行编码时，要求字符集中任一字符的编码都不是其它字符的编码的前缀，这种编码称为前缀(编)码。设有abcd需要编码表示（其中，a=0、b=10、c=110、d=11,则110的前缀表示的可以是c或者是d跟a，出现这种情况是因为d的前缀11与c的前缀110有重合部分，这个是关键。）
等长编码：最常见的就是 ASSIC 编码，8位等长的二进制0-127来表示字符。可以预见，任何一个等长编码的字符，不可能是另一个字符的前缀，所以等长编码是前缀码。

哈夫曼编码

设计电文总长最短的二进制前缀编码，就是以n种字符出现的频率作为权构造一棵哈夫曼树，由哈夫曼树求得的编码就是哈夫曼编码。哈夫曼编码是最优前缀编码。

真题

假设通信电文使用的字符集为{a，b，c，d，e，f，g，h}，各字符在电文中出现的频度分别为：7，26，2，28，13，10，3，11，试为这8个字符设计哈夫曼编码。要求：

(1)画出你所构造的哈夫曼树(要求树中左孩子结点的权值不大于右孩子结点的权值)；

(2)按左分支为0和右分支为1的规则，分别写出与每个字符对应的编码

解决：如下图：

算法实现

看之前写过的算法:构建哈夫曼树和编码输出