高等数学复习之空间解析几何

 4月份考试结束了，同时也宣告了，自己求快复习方案的失败。仅靠残存的知识，直接做题，复习方案的失败。功利的下场就是连题都不知在说什么，尤其是数学类的，没有构建起体系知识前，就不要做题。

知识点：

1. 空间直角坐标系？？
   
    规定是用右手法则来确定的，大拇指向Z轴，四个指尖指向Y轴，四个指背指向x轴。坐标系将空间分成八个卦限，正对xyz方向为第一卦限，逆时针旋转，分别为2~4，第一卦限下方为第五卦限。如下图所示：
   
   
   
   
   坐标系里的点M记为：M(x,y,z).
   

2. 空间两点间的距离公式？？
   
   P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如下图所示：求解思路是求解在空间各点的增量，进而将增量投影到观察面中，由于是同一个面，组成一个三角形，求解面积即可得到距离。
   
   
   $|\mathrm{P}1\mathrm{P}2|=\sqrt{(x-x{)}^2+(y-y{)}^2+(z-z{)}^2}$
   第一个需要记忆的公式

3. 0向量？自由向量？单位向量？？向量之间的位置关系？
   
    0向量：长度为0的向量，方向可以任意，
    单位向量，长度为1的向量。
    自由向量：平移得到的向量（相对原向量来讲）
    位置关系：夹角：$\widehat{(A,B)}$ 范围: $0<\widehat{(A,B)}<\pi$  平行：$\alpha \Vert \beta$  垂直：$\alpha \perp \beta$
   

4. 向量的运算？？
   
   加减法：符合平行四边形法则和三角形法则：如下图所示：
   
   注：“减法” 如何解释呢？
   如下图所示：
   
   
   线性规则：
   

•  交换律：a+b=b+a;
  

•  结合律(加法）：$(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\gamma =\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\gamma )$
  

•  数乘：向量与数的乘法；在原向量基础上扩大或向相反方向扩大多少倍。性质：数与向量都分别满足结合律和分配律。

•  投影：记为：Prj_u$\overline{AB}$在u轴上的投影向量。投影具有平移不变性，所以，当平移一个向量与坐标轴u相交时，Prj_ua=|a|cos$\phi$;$\phi$是向量a与坐标轴u的夹角。这其实是投影定理。性质：投影满足向量的分配律及数乘时，数可以提出来。有了投影，就可以表示向空间点的坐标，记为：{a_x,a_y,a_z},给定两点的向量可以表示为：M1M2→=(x2−x1)i+(y2−y1)j+(z2−z1)k={ x2−x1,y2−y1,z2−z1}\begin{aligned} \overrightarrow{M_{1} M_{2}} &=\left(x_{2}-x_{1}\right) i+\left(y_{2}-y_{1}\right) j+\left(z_{2}-z_{1}\right) \boldsymbol{k} \\ &=\left\{x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right\} \end{aligned}M1​M2​ ​​=(x2​−x1​)i+(y2​−y1​)j+(z2​−z1​)k={ x2​−x1​,y2​−y1​,z2​−z1​}​;i,j,k分别为x,y,z轴上的单位向量。

•  数量积：a.b=|a|.|b|cos$\Theta$(这个就是数量积的定义，不是由别的公式推导而来),$\Theta$还是向量a,b的夹角。所以如果，a.b=0,说明两个向量是垂直的,因为cos$\frac{\pi }{2}=0$。数量积是关于向量模的运算，不在乎方向，只关注数量

  由投影的定义可得b在a上的投影Prja b=|b|cos$\Theta$所以a.b=|a| . |b| cos$\Theta$= |a| Prja b.

  数量积的坐标形式：a{a1,a2,a3},b{b1,b2,b3},那么 a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

•  向量积：a X b,不能单纯用等式来表示了，因为有了方向要化成三阶行列式形式（带了单位向量）所以，向量积的坐标表示：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=|$