29、从量子查询复杂度到状态复杂度

从量子查询复杂度到状态复杂度

1. DJ′(x)的精确量子查询算法

Montanaro等人给出了一个针对DJ′的2次查询量子算法，但证明过程复杂。受相关方法启发，下面给出一个更简单的2次查询算法：
- 基础状态 ：使用基态|0, 0⟩、|i, 0⟩、|i, j⟩和|k⟩，其中0 ≤ i < j ≤ n，1 ≤ k ≤ n - 2。基态|i, j⟩对应输入位xi（1 ≤ i ≤ n）；基态|k⟩对应输入位yk（1 ≤ k ≤ n - 2，yk是某个特定的xi），其他基态不对应任何输入位。
- 算法步骤 ：
1. 算法A从状态|0, 0⟩开始，应用酉映射U1：
[U_1|0, 0⟩ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}|i, 0⟩]
2. 执行查询：
[\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}|i, 0⟩ \to \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}(-1)^{x_i}|i, 0⟩]
3. 对当前状态应用酉映射U2：
[U_2|i, 0⟩ = \sum_{j > i \geq 1} \frac{1}{\sqrt{n}}|i, j⟩ - \sum_{1 \leq j < i} \frac{1}{\sqrt{n}}|j, i⟩ + \frac{1}{\sqrt{n}}|0, 0⟩]
得到的量子态为：
[U_2\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}(-1)^{x_i}|i, 0⟩ = \frac{1}{n}