21、经典与量子自动机上承诺问题的复杂度及布尔矩阵乘法相关问题

经典与量子自动机上承诺问题的复杂度及布尔矩阵乘法相关问题

1. 经典与量子自动机上承诺问题的复杂度

在经典自动机领域，有关于解决承诺问题所需自动机状态数量的重要定理。

定理 5

解决承诺问题 $A_{N,r_1,r_2}$ 的最小扫描 2dfa 具有 $d$ 个状态，其中 $d$ 是满足 $d | N$ 且 $d \nmid l$ 的最小正整数。此外，任何用于 $A_{N,r_1,r_2}$ 的 2dfa 至少需要 $d - 1$ 个状态。
- 证明思路 ：首先，定理 1 中提到的最小 1dfa 显然可以看作是一个具有 $d$ 个状态的扫描 2dfa 来解决 $A_{N,r_1,r_2}$。假设存在一个具有 $p < d$ 个状态的扫描 2dfa $M$。考虑 $M$ 在 $z$ 次遍历中接受 $\sigma^{N + r_1} \in A_{N,r_1}^{yes}$ 的计算过程。由于 $p < N$，在每次遍历中 $M$ 必然会进入一个循环。设 $C_i$ 是第 $i$ 次遍历中进入的循环，$\ell_i$ 是 $C_i$ 的长度。通过令 $L = lcm(\ell_1, \ldots, \ell_z)$，可以发现 $M$ 在输入 $\sigma^{N + r_1 + \beta L}$ 上的计算会导致与 $\sigma^{N + r_1}$ 相同的接受状态。如果 $g = gcd(L, N)$ 且 $g | l$，则会导致矛盾，所以 $g \nmid l$ 必须成立。这就与 $d$ 的最小性产生矛盾，因此任何用于 $A_{N,r_1,r_2}$ 的扫描 2dfa 至少需要 $d$ 个状态。最后，由于将一个 2d