25、交替码的简化高速长距离列表译码算法

交替码的简化高速长距离列表译码算法

在编码理论和密码学领域，交替码的译码问题一直是研究的重点。本文将介绍一种简化的列表译码算法，它能够高效地纠正交替码中的错误，尤其适用于McEliece和Niederreiter公钥密码系统中使用的经典Goppa码。

1. 交替码的基本概念

交替码是一类重要的线性码，它的定义如下：
取任意素数幂$q$，整数$m \geq 1$，整数$n \geq m$且$n \leq q^m$，整数$t \geq 1$且$t \leq n/m$，不同的$\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F_{q^m}$，以及非零的$\beta_1, \ldots, \beta_n \in F_{q^m}$。定义集合$C$为：
[
C = {(\beta_1f(\alpha_1), \ldots, \beta_nf(\alpha_n)) : f \in F_{q^m}[x], \deg f < n - t, \beta_if(\alpha_i) \in F_q \text{ 对于每个 } i}
]
集合$C$是一个$[n, \geq n - mt, \geq t + 1]$的线性码，它是$F_q$ - 向量空间$F_q^n$的子空间，维数至少为$n - mt$，任意两个不同元素的汉明距离至少为$t + 1$。

交替码的类包含了许多著名的码，如二进制Reed - Solomon码、BCH码、各种奇特征推广码以及经典Goppa码。

2. 错误纠正问题及已有算法

对于交替码$C$的$w$ - 错误纠正问题，即给定一个与$c \in C$距离为$w$的向量，找到