基于外部资源的公平多资源分配

移动边缘计算中基于外部资源的公平多资源分配

摘要

我们研究了移动边缘计算（MEC）中的公平多资源分配问题。在移动边缘计算中，用户需要通过服务器外部的单一专用无线通信链路上传任务，以在边缘服务器上执行对多种计算资源有需求的任务。针对这一环境，我们设计了一种多资源分配机制，该机制扩展了主导资源公平性（DRF）的概念以适应外部资源，称为DRF‐ER。该机制具备多个理想属性：首先，DRF‐ER具有无嫉妒性，即没有任何用户更偏好其他用户的资源分配；其次，DRF‐ER分配是帕累托最优的，即无法在不减少他人分配的情况下改善任一用户的分配；最后，DRF‐ER是防策略操纵的，即任何用户都没有动机谎报其资源需求。基于谷歌集群轨迹的大规模仿真进一步表明，DRF‐ER显著优于DRFH的一种简单扩展方案——DRFH是DRF在多服务器场景下的知名变体，DRF‐ER能够实现更高的资源利用率。

一、引言

用户计算任务通常需要计算服务器中的多种资源（e.g.，内存和CPU核心）[1]。在MEC中，除了这些计算资源外，任务的输入数据和执行结果还需要通过共享的无线通信链路发送到MEC服务器以及从MEC服务器返回。

因此，MEC需要同时分配通信和计算资源。不同的MEC任务对这些资源的消耗量差异很大。例如，视频分析、语言翻译、人脸识别和增强现实应用通常具有中央处理器密集型任务，图分析和数据索引可能是内存受限的任务，而车到基础设施通信服务则可能在无线通信链路带宽上形成瓶颈[2],[3]。除了多样的资源需求特征外，MEC系统可能由多种类型的服务器构成。这些服务器可能具有不同的处理能力、内存大小和存储空间。此外，硬件升级（i.e.，添加新服务器并淘汰现有服务器）进一步增加了服务器的异构性。

开发一种公平的资源分配机制对于保障移动边缘计算（MEC）中不同工作负载的体验质量（QoE）具有重要意义。资源分配不足会降低用户的体验质量（QoE），而过度分配则会对共享移动边缘计算（MEC）环境中的其他用户产生负面影响。

在单类资源系统中，目前提出的最流行的分配策略是最大最小公平性（max‐min fairness），该策略旨在最大化最小系统中用户获得的最小分配量。然而，在移动边缘计算（MEC）中，服务器异构性和资源需求的多样性给公平资源分配机制的设计带来了挑战。

为了在多资源环境中评估一种分配策略，我们检查该策略是否满足公平资源分配策略的若干核心属性[4],[5],[6],[7]：
- 无妒忌性（EF）：没有用户偏好其他用户的资源分配。
- 帕累托最优（PO）：在不减少其他用户资源分配的情况下，无法增加任一用户的资源数量。
- 策略抗性（SP）：用户不应通过谎报其资源需求而受益。SP提供了激励兼容性，即用户无法通过谎报来改善其分配结果。
- 共享激励（SI）：每个用户应获得的资源量至少应等于将总资源平均分配的数量。

这些性质在单资源系统的最大最小公平性中是显然满足的；然而，在多资源环境中，可能无法同时满足所有这些性质。

Ghodsi等[4]提出了主导资源公平性（DRF），这是一种在分配多种类型资源时描述公平性概念的分配机制。DRF计算每个用户所需求资源的份额，并找出每个用户的主导份额及其对应的主导资源。然后，DRF在用户之间的主导份额上应用最大‐最小公平性。Ghodsi等证明了当任务为无限可分时，DRF满足所有四个所需属性（即，EF、PO、SP和SI）。随后，Parkes等[5]扩展了DRF，研究了不可分任务的问题。他们证明了在此情况下，不存在同时满足PO、SI和SP的机制。

尽管主导资源公平性（DRF）及若干后续研究解决了多种资源需求异构性的问题，但它们均将讨论局限于一种简化模型，即所有资源都集中于单个服务器中。在包含多异构服务器的系统中，若在每个服务器上单独应用DRF，可能导致资源利用率极低的分配结果[6]。异构服务器主导资源公平性（DRFH）并未在各个服务器中单独分配资源，而是联合考虑所有服务器之间的资源分配[6]。它基于资源的总量定义用户的主导资源，并据此计算最大最小最优的分配方案。

关于每个用户对该主导资源份额的分配。DRFH满足公平性（EF）、帕累托最优（PO）和SP[6]。与先前的机制不同，Friedman et al.[7]直接分配容器，这些容器是资源的隔离包。这与[4]‐[6]中的模型不同，因为用户无法合并资源包。他们证明了在单服务器和多服务器系统中，没有任何将容器分配给用户的确定性机制能够同时满足PO、SP和SI。相反，Friedman et al.提出了容器化‐DRF，这是一种随机机制，在具有不可分割作业的多服务器系统中，平均满足所有期望的性质。

本文研究了在具有异构服务器的移动边缘计算（MEC）环境中公平资源分配的问题。用户拥有需要在MEC服务器上消耗多种计算资源以及共享链路上通信带宽的无限可分任务。尽管DRFH和容器化‐DRF考虑了跨异构服务器的资源分配，但它们无法直接应用于当前场景。这些机制要求每个服务器都包含所有类型的资源，而在移动边缘计算中，存在一个位于计算服务器之外的专用无线通信链路。

本文的贡献和组织结构如下。在第二节描述系统模型后，我们在第三节‐A中提出了带外部资源的主导资源公平性（DRF‐ER），这是一种适用于用户共享单一通信信道且计算资源由异构服务器聚合的环境下的DRF扩展机制。在第三节‐B中，我们证明了DRF‐ER保留了大多数理想属性。我们在第IV节通过基于跟踪的仿真评估DRF‐ER的性能，最后在第五节给出结论。

II. 系统模型

我们考虑一组通过共享通信信道访问边缘计算服务器的移动用户。设 N为系统中的用户数量。

A. 边缘计算服务器

服务器的数量和服务器中资源类型的数量（例如，中央处理器和内存）分别用 S和 R表示。服务器 s在资源r上的容量用cs,r表示，我们定义一个容量向量cs=(cs,1,…, cs,R)。系统的总容量由ˆc=(cˆ1,…, cˆR)表示，其中
$$
\hat{c} r = \sum {s=1}^{S} c_{s,r}.
$$
服务器 s中资源 r的容量份额是
$$
\tilde{c} {s,r} = \frac{c {s,r}}{\hat{c}_r}. \quad (1)
$$

B. 共享通信信道

无线通信链路是存在于计算服务器之外的单一专用资源。所有用户在将任务上传到服务器时共享此链路。我们用du,BW表示用户 u每任务对通信链路带宽的需求，总链路带宽为 cBW。值得一提的是，如(1)式所定义的带宽份额为 $\tilde{c}_{BW}= 1$。

C. 公平资源共享

设用户 u的每个任务的需求向量为du=(du,1,…, du,R, du,BW)。本文中，我们交替使用下标R+1和带宽。那么，用户 u所需求资源 r的份额为
$$
\tilde{d} {u,r} = \frac{d {u,r}}{\hat{c} r}, \quad r= 1,…, R+ 1.
$$
根据主导资源公平性（DRF）的术语，我们将用户 u的主导资源定义为
$$
r_u^ = \arg \max_{1 \leq r \leq R+1} \tilde{d} {u,r}.
$$
然后，用户 u的主导份额为 $\tilde{d} {u,r_u^ }$。请注意，某些用户的主导资源可能是通信链路带宽。对于所有用户 u 和资源 r，我们进一步定义
$$
\bar{d} {u,r} = \frac{\tilde{d} {u,r}}{\tilde{d} {u,r_u^*}}, \quad r= 1,…, R+ 1 \quad \& \quad u= 1,…, N
$$
作为归一化需求。

我们的目标是为这一独特的移动边缘计算（MEC）环境开发一种多资源公平分配方案，该方案保留由DRF的多服务器扩展（如DRFH）所实现的核心公平性属性。同时，所提出的方案应提高移动边缘计算（MEC）资源的利用率。

我们注意到，由于共享通信带宽是一种独立于计算服务器之外的单独资源类型，DRFH无法直接适用于我们的问题。若要直接应用DRFH，则需要将 S计算服务器视为链路带宽容量为零的服务器，并将通信链路视作 S+ 1计算资源容量为零的服务器。然而，由于用户同时需要计算资源和链路带宽，而任何一台服务器都无法同时具备这两种资源，因此DRFH无法支持这些计算或通信服务器上的任何任务。相反，在第IV节中，我们将DRF‐ER与一种DRFH的扩展方法进行比较，其中每个计算服务器预先分配了一部分链路带宽。

III. DRF‐ER设计与性质

A. 具有外部资源的主导资源公平性

DRF‐ER在满足资源约束的前提下，最大化系统中的最小主导份额。
$$
\max_{{x_{u,s}}} \min_u \sum_{s=1}^{S} x_{u,s} \tilde{d} {u,r_u^*} \quad (2a)
$$
$$
\text{s.t.} \quad \sum {u=1}^{N} \sum_{s=1}^{S} x_{u,s} \tilde{d} {u,BW} \leq 1, \quad (2b)
$$
$$
\sum {u=1}^{N} x_{u,s} \tilde{d} {u,r} \leq \tilde{c} {s,r}, \quad r= 1,…, R \quad \& \quad s= 1,…, S \quad (2c)
$$
其中 $x_{u,s}$ 是分配给服务器 s上用户 u的任务数量。约束 (2b)指链路带宽容量，(2c)指每个服务器的资源容量。

设 $x_u=(x_{u,1},…, x_{u,S})^T$ 为分配给用户 u的任务数量的向量，且 $x=(x_1,…, x_N)$。进一步引入辅助变量 g，优化问题(2)可重写如下：
$$
\max_{g,{x_{u,s}}} g \quad (3a)
$$
$$
\text{s.t.} \quad \sum_{s=1}^{S} x_{u,s} \tilde{d}_{u,r_u^*} = g, \quad u= 1,…, N, \quad (3b)
$$
(2b),(2c).

我们可以进一步简化(2b)，并将优化问题重写为
$$
\max_{g,{x_{u,s}}} g \quad (4a)
$$
$$
\text{s.t.} \quad g \leq \frac{1}{\sum_{u=1}^{N} \bar{d}_{u,BW}}, \quad (4b)
$$
(2c),(3b).

我们用 $x^*$ 表示问题(4)的最优解。

对于每个用户 u和服务器 s，设 $\tilde{A} {u,BW}$ 为分配给用户 u的链路带宽份额，$\tilde{A} {u,s}=(\tilde{A} {u,s,1},…,\tilde{A} {u,s,R})$ 为资源分配向量，其中 $\tilde{A} {u,s,r}$ 表示在服务器 s中分配给用户 u的资源 r 的份额。令 $\tilde{A}_u=(\tilde{A} {u,1},…,\tilde{A} {u,S})$ 为用户 u的计算资源分配矩阵，$\tilde{A}=(\tilde{A}_1,…,\tilde{A}_N)$ 为所有用户的总体分配。公式(5)计算 $\tilde{A}^ _{u,s,r}$，即DRF‐ER分配给用户 u的服务器 s 中资源 r 的份额：
$$
\tilde{A}^ {u,s,r} = x^ {u,s} \tilde{d} {u,r}. \quad (5)
$$
分配给用户 u的链路带宽份额是
$$
\tilde{A}^ {u,BW} = \sum {s=1}^{S} x^* {u,s} \tilde{d} {u,BW}. \quad (6)
$$

B. 核心属性分析

在本节中，我们研究第一节中解释的四个主要属性。我们首先讨论如何确定在给定某种任意资源分配的情况下，用户可以执行的任务数量，该资源分配相对于{v3}问题(4)可能不是最优的。设 $X_{u,s}(\tilde{A} u, \tilde{A} {u,BW})$ 为通过求解下面的优化问题(7)，在给定 $\tilde{A} u$ 和 $\tilde{A} {u,BW}$ 的情况下，用户 u在每台服务器上可以执行的任务数量：
$$
\max_{{x_{u,s}}} \sum_{s=1}^{S} x_{u,s} \quad (7a)
$$
$$
\text{s.t.} \quad \sum_{s=1}^{S} x_{u,s} \tilde{d} {u,BW} \leq \tilde{A} {u,BW}, \quad (7b)
$$
$$
x_{u,s} \tilde{d} {u,r} \leq \tilde{A} {u,s,r}, \quad r= 1,…, R \quad \& \quad s= 1,…, S. \quad (7c)
$$
问题(7)可能存在多个最优解。其中一个解可以从公式(8)构造得到。
$$
X_{u,s}(\tilde{A} u, \tilde{A} {u,BW}) = Y_{u,s}(\tilde{A} u, \tilde{A} {u,BW}) \times \min\left{1, \frac{\tilde{A} {u,BW}}{\sum {s=1}^{S} \tilde{d} {u,BW}}\right} \quad (8)
$$
其中
$$
Y {u,s}(\tilde{A} u, \tilde{A} {u,BW}) = \min_{1 \leq r \leq R} \left{ \frac{\tilde{A} {u,s,r}}{\tilde{d} {u,r}} \right}.
$$
用户 u通过该任意分配矩阵可以执行的总任务数为
$$
\sum_{s=1}^{S} X_{u,s}(\tilde{A} u, \tilde{A} {u,BW}) = \min\left{ \sum_{s=1}^{S} \min_{1 \leq r \leq R} \left{ \frac{\tilde{A} {u,s,r}}{\tilde{d} {u,r}} \right}, \frac{\tilde{A} {u,BW}}{\tilde{d} {u,BW}} \right}. \quad (9)
$$

我们现在证明，在DRF‐ER分配下，没有任何用户更偏好其他用户的分配。

命题1。 通过求解(4)得到的DRF-ER分配满足公平性。

证明。 假设 $\tilde{A}^ $ 是由(5)和(6)得到的最优分配。我们需要证明，如果某个用户（例如，u0）获得了另一用户（例如，用户 u1）所分配的资源，则其无法执行更多的任务。换句话说，我们需要证明
$$
\sum_{s=1}^{S} X_{u0,s}( \tilde{A}^ {u1}, \tilde{A}^ {u1,BW}) \leq \sum {s=1}^{S} x^ {u0,s}.
$$
根据方程(5)、(6)和(9)，我们得到
$$
\sum_{s=1}^{S} X_{u0,s}( \tilde{A}^ _{u1}, \tilde{A}^ {u1,BW}) = \min\left{ \sum {s=1}^{S} \min_{1 \leq r \leq R} \left{ \frac{x^ {u1,s} \tilde{d} {u1,r}}{\tilde{d} {u0,r}} \right}, \frac{\sum {s=1}^{S} x^ {u1,s} \tilde{d} {u1,BW}}{\tilde{d} {u0,BW}} \right}
= \sum {s=1}^{S} x^ {u1,s} \times \min {1 \leq r \leq R+1} \left{ \frac{\tilde{d} {u1,r}}{\tilde{d} {u0,r}} \right} \times \frac{\tilde{d}_{u1,r^ {u1}}}{\tilde{d} {u0,r^ {u0}}}
= \sum {s=1}^{S} x^ {u1,s} \times \min {1 \leq r \leq R+1} \left{ \frac{\bar{d} {u1,r}}{\bar{d} {u0,r}} \right} \times \frac{\tilde{d} {u1,r^ {u1}}}{\tilde{d} {u0,r^ {u0}}}.
$$
回想一下，我们交替使用带宽和 R+1。我们知道 $\min_{1 \leq r \leq R+1} \left{ \frac{\bar{d} {u1,r}}{\bar{d} {u0,r}} \right} \leq \frac{\bar{d} {u1,r^ {u0}}}{\bar{d} {u0,r^ {u0}}} = \frac{\bar{d} {u1,r^ {u0}}}{1} \leq 1$。因此，我们有
$$
\sum {s=1}^{S} X_{u0,s}( \tilde{A}^ {u1}, \tilde{A}^ {u1,BW}) \leq \frac{\sum {s=1}^{S} x^ {u1,s} \tilde{d} {u1,r^ {u1}}}{\tilde{d} {u0,r^ {u0}}}. \quad (10)
$$
其中 $x^ _{u0,s}$ 和 $x^ {u1,s}$ 通过求解(4)得到。此外，约束(3b)意味着
$$
\sum_{s=1}^{S} x^ {u1,s} \tilde{d} {u1,r^ {u1}} = \sum {s=1}^{S} x^ {u0,s} \tilde{d} {u0,r^ _{u0}}. \quad (11)
$$
联合使用方程(10)和(11)可证明该结论。

四、实验结果

在第三节‐B中，我们研究了DRF‐ER的理想属性。在本节中，我们进一步评估其在资源利用率方面的性能，并将其与DRFH的简单扩展进行比较。首先，我们研究一个用户动态到达和离开系统的简单场景，展示DRF‐ER相较于DRFH如何提高资源利用率。然后，我们通过使用谷歌集群轨迹进行大规模仿真，在更真实的环境下评估DRF‐ER的性能。

图1比较了当用户动态加入和离开系统时，DRF‐ER与DRFH的性能。考虑一个包含两台服务器的系统。服务器1包含5个CPU核心和10 GB内存，服务器2包含10个CPU核心和5 GB内存。三位用户进入该系统。用户1每个任务需要1个CPU核心和2 GB内存，用户2每个任务需要2个CPU核心和1 GB内存，用户3每个任务需要3个CPU核心和2 GB内存。这些用户共享一个无线通信信道，以将任务卸载到服务器上。用户1、用户2和用户3每个任务分别需要 2/15、 1/15和 2/15的无线通信链路带宽。

与DRF‐ER不同，应用DRFH时，我们需要首先为每个服务器分配链路带宽容量。在此，为了便于说明，我们考虑在DRFH中每个服务器获得一半链路带宽的情况。图1中研究的场景包含五个阶段。在第一阶段，用户1是系统中唯一的活跃用户。在DRF‐ER中，用户1在服务器1上运行5个任务，在服务器2上运行2.5个任务。然而，在DRFH中，服务器1上的任务数量减少至3.75，以确保服务器1上的任务消耗的链路带宽不超过一半。100秒后，第二阶段开始，此时用户2加入系统。DRF‐ER将服务器1分配给用户1，将服务器2分配给用户2，因此每个用户可以运行5个任务。如图1所示，DRFH未能最优地分配资源，所有资源均未被充分利用。在t= 200时刻，用户3加入系统。在此阶段，所有用户均为活跃用户，DRF‐ER与DRFH的性能相同。类似于第一和第二阶段，在第四阶段，当用户2离开系统时，DRFH未能找到帕累托最优解，所有资源的利用率均降低了8%。100秒后，用户1离开系统，两种资源分配策略的性能相似。我们在此强调，DRF‐ER在满足第三节‐B中所述的理想属性的同时，实现了更高的资源利用率。目前尚不清楚在应用DRFH时，任何通信带宽的划分方式是否能够实现相同的属性。

此外，我们使用Google集群使用痕迹 [8] 来比较DRF‐ER和DRFH的性能。每个用户希望向服务器提交一个作业，且每个作业被划分为任务。具有相同的资源需求。任务的到达时间、持续时间和资源需求（中央处理器和内存）可在跟踪数据中获得。为了估计任务所需的带宽，我们假设 $d_{u,CPU} f_{CPU} = X d_{u,bps}$，其中 $d_{u,CPU}$ 是用户 u的中央处理器需求，$f_{CPU}$ 是服务器的中央处理器频率，$d_{u,bps}$ 是用户 u所需的比特率，而 $X$ 是服从伽玛分布[9]的随机变量。在本文中，我们采用[9]的方法，使用 α= 4和β= 200生成 $X$。我们考虑一个采用频分多址（FDMA）的通用MEC系统，并基于 $d_{u,bps}$ 估算用户 u所需的链路带宽 $\tilde{d}_{u,BW}$。我们采用谷歌提供的4小时计算需求数据。我们使用轨迹并在一个较小的MEC系统上模拟其处理过程，该系统包含三个容量为0.125中央处理器和0.125内存的服务器，以及一个容量为1中央处理器和1内存的服务器。资源需求和容量均已归一化，使得服务器的最大容量为1。

图2比较了DRF‐ER与DRFH的资源利用率，其中DRFH的链路带宽在服务器之间均等分配。该图表明，DRF‐ER在所有资源的利用率方面均优于DRFH。这主要是因为后者无法随时间动态计算链路带宽的公平分配，同时保持计算资源的公平分配。相比之下，DRF‐ER正是为此目的而设计，在实现第三节‐B中所证明的公平性属性的同时，提高了资源利用率。

结论

本文考虑了一个系统，其中移动用户在边缘计算服务器上运行其任务，每个任务需要特定数量的计算资源和通信链路带宽。由于通信链路位于服务器外部，我们无法直接应用传统的多资源公平分配机制。所提出的方案DRF‐ER对主导资源公平性（DRF）进行了推广，并被证明满足若干重要的理想性质。值得注意的是，DRF‐ER具有无嫉妒性、帕累托最优性和诚实性。此外，我们的基于跟踪数据的仿真结果表明，与DRFH的简单扩展相比，DRF‐ER在资源利用率方面实现了显著提升。最后，我们指出，尽管移动边缘计算（MEC）在本研究中作为一个重要的示例应用，但DRF‐ER在存在一种资源位于包含其他资源类型的服务器外部的多资源公平分配场景中具有广泛的适用性。