11、二维有限差分时域（FDFD）的有限差分方程及导数矩阵

二维有限差分时域（FDFD）的有限差分方程及导数矩阵

1. 二维FDFD有限差分方程概述

在某些特定条件下，一些三维问题的数学处理可以简化为二维问题。这些条件包括：
1. 器件沿z方向均匀；
2. 波的传播限制在xy平面；
3. 材料是各向同性或对角各向异性的。

当满足这些条件时，所有关于z的导数为零，相关方程（4.31） - （4.36）可简化为以下方程：
- $\frac{E_{z_{i,j + 1}} - E_{z_{i,j}}}{\Delta y} = k_0m_{xx_{i,j}}\hat{H} {x {i,j}}$ （4.49）
- $-\frac{E_{z_{i + 1,j}} - E_{z_{i,j}}}{\Delta x} = k_0m_{yy_{i,j}}\hat{H} {y {i,j}}$ （4.50）
- $\frac{E_{y_{i + 1,j}} - E_{y_{i,j}}}{\Delta x} - \frac{E_{x_{i,j + 1}} - E_{x_{i,j}}}{\Delta y} = k_0m_{zz_{i,j}}\hat{H} {z {i,j}}$ （4.51）
- $\frac{\hat{H} {z {i,j}} - \hat{H} {z {i,j - 1}}}{\Delta y} = k_0e_{xx_{i,j}}E_{x_{i,j}}$ （4.52）
- $-\frac{\hat{H} {z {i,j}} - \hat{H} {z <