16、四元线性Reed - Muller码的核维数研究

四元线性Reed - Muller码的核维数研究

1. 引言

在编码理论中，Reed - Muller码是一类重要的线性码。近年来，人们尝试对其进行推广，提出了多种四元线性码族。本文主要研究四元线性Reed - Muller码RMs(r, m)的核维数，这一参数有助于对这些码进行分类。

2. 相关定义与构造

2.1 四元线性码的核

若G是四元线性码C的生成矩阵，那么向量u属于C的核K(C)当且仅当u属于C，并且对于所有v属于G，有2u * v属于C。此外，C中所有二阶码字都属于K(C)，若向量1属于C，则它也属于K(C)，且K(C)是C的线性子码。

2.2 二元线性Reed - Muller码RM(r, m)

对于0 ≤ r ≤ m且m ≥ 2，二元线性r阶Reed - Muller码RM(r, m)可通过Plotkin构造描述为：
RM(r, m) = {(u|u + v) : u ∈ RM(r, m - 1), v ∈ RM(r - 1, m - 1)}
其中RM(0, m)是重复码{0, 1}，RM(m, m)是全空间码，“|”表示连接。其具有以下参数和性质：
1. 长度n = 2^m；
2. 最小Hamming距离d = 2^(m - r)；
3. 维数k = ∑(i = 0到r) C(m, i)；
4. 当0 < r ≤ m时，RM(r - 1, m)是RM(r, m)的子码；
5. 当0 ≤ r < m时，RM(r, m)是RM(m - 1 - r, m)的对偶码。

2.3 四元线性Reed -