5、大常数维度码的构造

大常数维度码的构造

在当今的信息传输和存储领域，码的构造是一个至关重要的研究方向。常数维度码作为其中的一种特殊码型，因其在特定场景下的优异性能，受到了广泛的关注。本文将深入探讨大常数维度码的构造方法，包括利用丢番图线性方程组和不等式进行构造，以及引入自同构群来优化构造过程。

1. 常数维度码的基本构造

1.1 利用丢番图系统构造

为了构造维度为 $k$ 且最小子空间距离为 $2d$ 的常数维度码，我们需要找到 $n$ 个维度为 $k$ 的子空间 ${V_1, \ldots, V_n}$，使得不存在维度为 $k - d + 1$ 的子空间同时包含在两个选定的 $k$ - 子空间中。我们定义 $M$ 为 $(k - d + 1)$ - 子空间（标记 $M$ 的行）和 $k$ - 子空间（标记 $M$ 的列）之间关联系统的关联矩阵：
[
M_{W,V} :=
\begin{cases}
1, & \text{如果 } V \text{ 包含 } W \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
通过 $M$，我们可以将常数维度码描述为一个丢番图系统的解。设 $s$ 为 $M$ 的列数，有以下定理：

定理 1 ：存在具有 $m$ 个码字且最小距离至少为 $2d$ 的常数维度码，当且仅当存在以下一个方程和一组不等式组成的系统的 $(0/1)$ - 解 $x = (x_1, \ldots, x_s)^T$：
[
\sum_{i = 1}^{s} x_i = m \tag{1}
]