4、组合设计与编码理论的前沿进展

组合设计与编码理论的前沿进展

在组合数学和编码理论领域，Steiner t - 设计、空间构型以及恒定维度码等概念一直是研究的热点。本文将深入探讨这些领域的最新研究成果，包括Steiner 6 - 设计的性质、新空间构型的构建以及具有规定最小距离的大恒定维度码的构造。

Steiner t - 设计

对于 t > 2 的 t - 设计，相关研究成果利用了所有有限 2 - 传递置换群的分类，而这又依赖于有限单群的分类。这些研究解决了一系列长达40年的问题，并推广了J. Tits和H. Lüneburg的定理。

在研究非平凡Steiner 6 - 设计时，有一个重要的主定理：设 D = (X, B, I) 为非平凡Steiner 6 - 设计，则 G ≤ Aut(D) 不能对 D 进行块传递作用，除非可能当 G = PΓL(2, pe) ，其中 p = 2 或 3 且 e 为奇素数幂。

为了研究块传递的Steiner 6 - 设计，我们可以利用所有有限 3 - 齐次置换群的分类。有限 3 - 齐次置换群 G 作用在集合 X（|X| ≥ 4）上，可分为以下两种类型：
- 仿射型（A） ：G 包含一个正则正规子群 T，T 是阶为 v = 2d 的初等阿贝尔群。若将 G 视为 V = V(d, 2) 的仿射变换群 x → xg + u（其中 g ∈ G0 且 u ∈ V），则会出现以下情况：
- G ∼= AGL(1, 8)、AΓL(1, 8) 或 AΓL(1, 32)
- G0 ∼= SL(d, 2)，d ≥ 2
- G0 ∼= A7，v = 24
- 几乎单