四叶草魔杖

最新推荐文章于 2021-07-06 19:53:57 发布

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算法题解--动态规划同时被 2 个专栏收录

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算法题解--图论：树

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本文介绍了一个关于宝石能量均衡的问题，需要通过动态规划、最小生成树和状态压缩等算法找到使宝石能量一致所需的最小代价。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

　　魔杖护法Freda融合了四件武器，于是魔杖顶端缓缓地生出了一棵四叶草，四片叶子幻发着淡淡的七色光。圣剑护法rainbow取出了一个圆盘，圆盘上镶嵌着N颗宝石，编号为0~N-1。第i颗宝石的能量是Ai。如果Ai>0，表示这颗宝石能量过高，需要把Ai的能量传给其它宝石；如果Ai<0，表示这颗宝石的能量过低，需要从其它宝石处获取-Ai的能量。保证∑Ai =0。只有当所有宝石的能量均相同时，把四叶草魔杖插入圆盘中央，才能开启超自然之界的通道。
不过，只有M对宝石之间可以互相传递能量，其中第i对宝石之间无论传递多少能量，都要花费Ti的代价。探险队员们想知道，最少需要花费多少代价才能使所有宝石的能量都相同?

Input

第一行两个整数N、M。
第二行N个整数Ai。
接下来M行每行三个整数pi,qi,Ti，表示在编号为pi和qi的宝石之间传递能量需要花费Ti的代价。数据保证每对pi、qi最多出现一次。

Output

输出一个整数表示答案。无解输出Impossible

Sample Input

Sample Output

Hint

对于 50% 的数据，2<=N<=8。
对于 100% 的数据，2<=N<=16，0<=M<=N*(N-1)/2，0<=pi,qi<N，-1000<=Ai<=1000，0<=Ti<=1000，∑Ai=0。

【分析】

动态规划、最小生成树、状态压缩
1.找出所有能量和为0的集合。
若该集合的点是联通的，那么求出该集合的最小生成树，生成树的值即是该集合能量转移所需最小代价
2.将每一和为0的集合看成是一个物品，利用背包动规求出最优解。

具体做法是：
用二进制来压缩状态，1代表节点在集合中，0代表不在。
比如数字s的二进制形式为100111，表明0,1,2,5号节点在s表示的集合中。

题目最多有n(n<=16)个节点，因此s的范围是0到(2^n)-1 也就是(1<<n)-1
用数组Sum[s]，记录集合s中包含的节点的能量之和。
对于每一个能量和为0的集合x(Sum[x]==0)，若能得到一棵最小生成树，用数组Cost[x]记录下该生成树的代价
f[i]记录平衡集合i中的节点的能量值，所需最小代价
对于集合i和j,若满足Sum[i]==true且Sum[j]==true
那么有f[i|j]=min(f[i|j],f[i]+Cost[j]);
i|j表示集合i与集合j合并之后的集合

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int inf=1000000000;
struct node{int x,y,z;}Edge[150];
int n,m,A[17],Father[17],Sum[1<<17],Cost[1<<17],f[1<<17];
bool cmp(node a,node b){ return a.z<b.z;}
int GetFather(int x)
{
	if(x!=Father[x])Father[x]=GetFather(Father[x]);
	return Father[x];
}
int Kruskal(int s)  //讨论状态s中包含的点，构成的最小生成树 
{
	int i,MinCost=0,Cnt=0,tot=0,fx,fy;
	for(i=0;i<n;i++)
	{
	  Father[i]=i;                //初始化并查集 
	  if((s>>i)&1)tot++;          //tot统计s状态中包含的节点数 
    }

	for(i=1;i<=m;i++)
	  if(((s>>Edge[i].x)&1)&&((s>>Edge[i].y)&1))//判断状态s中是否包含了边i的两个端点 
	  {
	  	  fx=GetFather(Edge[i].x);
		  fy=GetFather(Edge[i].y);
		  if(fx!=fy)
		  {
		  	  Father[fx]=fy;
		  	  Cnt++;               //Cnt记录生成树中节点的个数
			  MinCost+=Edge[i].z; 
		  }
	  }
	if(Cnt+1!=tot) return inf;   //若Cnt+1<tot表明有节点没加入到生成树，该集合不连通 
	else return MinCost; 
}
int main()
{
	int i,j,Tot;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&A[i]);
	for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&Edge[i].x,&Edge[i].y,&Edge[i].z);
	sort(Edge+1,Edge+m+1,cmp);
	
	Tot=(1<<n)-1;         //总的状态数 
	for(i=0;i<=Tot;i++)   //讨论每一种状态表示的集合，记录其中节点的能量总和 
	  for(j=0;j<n;j++)
	    if((i>>j)&1)Sum[i]+=A[j]; 
	    
	for(i=0;i<=Tot;i++)
	  if(Sum[i]==0)Cost[i]=Kruskal(i);  //若i表示的集合中，节点能量和为0，讨论其最小生成树 
	  else Cost[i]=inf;
    
	for(i=1;i<=Tot;i++)f[i]=inf;
	f[0]=0;
	
	for(i=0;i<=Tot;i++)
	{
		if(Sum[i]!=0)continue;
		for(j=1;j<=Tot;j++)
		{
			if(Sum[j]!=0)continue;
			f[i|j]=min(f[i|j],f[i]+Cost[j]);
	    }
	} 

	if(f[Tot]==inf)printf("Impossible\n");else printf("%d\n",f[Tot]); 
	return 0;
}