【SGU 275】 To xor or not to xor

最新推荐文章于 2019-01-08 08:28:10 发布

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本文介绍一种求解非空子集中元素异或和最大的高效算法。通过从高位到低位枚举二进制位，并利用位操作实现优化选择过程，确保最终得到的异或和为所有可能子集中的最大值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目大意】

给定一个非负整数序列a1,a2,,,an (1<=n<=100,ai<=10¹⁸)。要求选出其的一个非空子集，使得异或和最大。求最大异或和。

【分析】

先给出算法，再简略说明正确性。

从高到底枚举每一个二进制位L。

1.找出第L位为1的数ai，如果找到则转2，否则转4.

2.若ans的第L位为0，ans^=ai。

3.使所有第L位为1的数aj^=ai。

4.枚举下一个二进制位。

正确性：

要异或和最大，很明显就是要二进制位从高到低依次尽量填1，上述算法的1，2步就是在干这个事情。

但仅仅这样是不对的，因为第L位为1的可能不止一个数，我们一开始无法判断哪一个更优，怎么办呢？第3步就解决了这个事。

假设序列中有ai,aj，它们第L位都为1。我们先假设ai更优，将ans^=ai。然后执行第3步，aj^=ai。这样就保证了如果aj比ai更优，会在后面的操作中替换掉ai的位置。保证了正确性。

时间复杂度为O(64n²)

【代码】

/* Ciocio's Oi Template */
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define rrep(i,b,a) for(int i=(b);i>=(a);--i)
#define ll long long
#define pf printf
#define sf scanf
#define INF (~0U>>3)
#define MAXN 110

int N;
ll A[MAXN];

void Init(){
	cin>>N;
	rep(i,1,N){
		cin>>A[i];
	}
}

void Solve(){
	ll rt=0;
	rrep(i,62,0)
		rep(j,1,N)
			if((A[j]>>i)&1){
				if(!((rt>>i)&1)) rt^=A[j];
				rep(k,1,N)
					if((k!=j)&&((A[k]>>i)&1))
						A[k]^=A[j];
				A[j]=0;
			}
	cout<<rt<<endl;
}

int main(){
	Init();
	Solve();
	return 0;
}