21、微分方程的多种应用及求解方法

微分方程的多种应用及求解方法

1. 洛伦兹方程

洛伦兹方程是一个由三个联立方程组成的系统，其形式如下：
[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = s(y - x) \
\frac{dy}{dt} = rx - y - xz \
\frac{dz}{dt} = xy - bz
\end{cases}
]
该系统有许多重要应用，如天气预报。随着参数 ( s )、( r ) 和 ( b ) 在不同取值范围内变化，这个微分方程组的解的形式也会发生变化。特别是对于某些参数值，系统会表现出混沌行为。

为了在计算过程中提供更高的精度，我们使用 MATLAB 函数 ode45 而不是 ode23 。以下是求解该问题的 MATLAB 脚本：

% e3s505.m
% Solution of the Lorenz equations
r = input('enter a value for the constant r ');
simtime = input('enter runtime ');
acc = input('enter accuracy value ');
xprime = @(t,x) [10*(x(2)-x(1)); r*x(1)-x(2)-x(1)*x(3); ...
    x(1)*x(2)-8*x(3)/3];
initx = [-7.69 -15.61 90.39]';
tspan = [0 simtime];
options = odeset('Re