金融与数值计算技术解析

1、从欧式看涨期权的布莱克 - 斯科尔斯价格公式中，求期权价格关于波动率的导数（vega）。

对于满足 $ S = K $ 且 $ r = 0 $ 的欧式期权价格，在布莱克-斯科尔斯模型下，vega 等于
$$
\nu = S\sqrt{T} \, \phi\left(\frac{\sigma\sqrt{T}}{2}\right)
$$
其中 $ \phi $ 是正态概率密度函数。

2、对于函数f(x) = x²exp( - x)，检查复合辛普森法则的误差是否为O(m⁻³)，其中m是子区间的数量。

可按以下步骤检查误差是否为 $ O(m^{-3}) $：

1. 定义函数 $ f(x) = x^2 \exp(-x) $；
2. 计算理论积分值；
3. 编写复合辛普森法则的函数；
4. 用不同数量的子区间 $ m $ 计算近似积分，并计算误差；
5. 绘制误差的 $ -1/3 $ 次方与子区间数量 $ m $ 的关系图；
6. 若图近似线性，则误差为 $ O(m^{-3}) $。

3、使用逆变换法和Box - Muller法生成100个来自N(0,1)的样本，并记录执行时间。重复上述过程500次，比较每个过程执行时间的中位数。

可按以下步骤完成任务：

1. 逆变换法 ：
   由于正态分布的累积分布函数（CDF）没有封闭形式，需借助数值近似来计算逆函数。如用Hastings（1955）提出的方法进行近似，再用牛顿法等通用求根算法求逆。在R语言中，可使用 rnorm 函数并设置方法为Inversion来生成样本。通过系统自带的计时函数（如 Sys.time() ）记录每次生成100个样本的执行时间，重复500次，最后计算这500次执行时间的中位数。

2. Box - Muller法