4、小度数多项式小解的求解方法与拓展

小度数多项式小解的求解方法与拓展

1. 小度数多项式小解的基本求解

在求解小度数多项式的小解时，存在一个关键的不等式条件：
[B \leq c’_3(d, h)N^{\frac{h - 1}{dh - 1}}]
这里 (N) 的指数 (\frac{h - 1}{dh - 1}) 与 (\frac{1}{d}) 的差值为 (\frac{d - 1}{d(dh - 1)} < \frac{1}{dh})。通过增大 (h) 的值，可以使这个差值任意小，但这会增加计算复杂度。当选择 (h = O(\frac{1}{d\epsilon})) 时，能得到一个界 (B = c’‘_3(d, \epsilon)N^{\frac{1}{d} - \epsilon})，且运行时间是关于 ((d, \frac{1}{\epsilon}, \log N)) 的多项式。

为了将界扩展到 (N^{\frac{1}{d}})，可以把大小为 (2N^{\frac{1}{d}}) 的区间划分为 (N^{\epsilon}) 个大小为 (2N^{\frac{1}{d} - \epsilon}) 的子区间。虽然这仍然是多项式时间的操作，但在实际应用中，随着指数接近 (\frac{1}{d})，计算成本会大幅增加。

同时，小根的数量也得到了界定，并且可以在多项式时间内计算出所有小根。小根数量的界定与 Konyagin 和 Steger 的结果相匹配，具体如下表所示：
| (B) 的取值 | 小根数量的界 |
| ---- | ---- |
| (B = N^{\frac{1}{d} - \epsilon}) | (O(\frac{1}{d\epsilon})) |