17、欧洲期权估值的COS方法解析

欧洲期权估值的COS方法解析

在金融领域，期权定价是一个关键的研究方向，COS（Fourier Cosine）方法为欧洲期权估值提供了一种高效且准确的途径。本文将深入探讨该方法的原理、应用及相关实验结果。

1. COS定价公式简化

对于指数Lévy过程，COS定价公式（6.28）可大幅简化，能同时计算不同执行价格的多个期权。给定执行价格的列向量$K$，进行如下变换：
$x = \log(\frac{S(t_0)}{K})$ 和 $y = \log(\frac{S(T)}{K})$
对于Lévy过程，特征函数可表示为：
$\varphi_X(u; t_0, T) = \phi_{X_L}(u, T) \cdot e^{iux}$ (6.47)
此时，定价公式简化为：
$V(t_0, x) \approx e^{-r\tau} \sum_{k = 0}^{N - 1} Re\left{\phi_{X_L}\left(\frac{k\pi}{b - a}, T\right) \exp\left(i\frac{k\pi(x - a)}{b - a}\right)\right} H_k$ (6.48)
其中，$\tau = T - t_0$。对于普通欧洲期权，$H_k$ 可表示为向量乘以标量，即$H_k = U_kK$，其中：
$U_k =
\begin{cases}
\frac{2}{b - a} (\chi_k(0, b) - \psi_k(0, b)) & \text{对于看涨期权}\
\frac{2}{b - a} (-\chi_k(a, 0) + \psi_k(a, 0)) & \te