16、欧洲期权估值的COS方法

欧洲期权估值的COS方法

1. 对数正态密度恢复

在这个例子中，我们将使用COS方法来近似对数正态随机变量的概率密度函数。需要注意的是，对数正态随机变量的特征函数并没有封闭形式的表达式，因此我们不能直接将COS方法应用于对数正态特征函数。

为了得到对数正态随机变量的密度，我们会利用正态和对数正态随机变量之间的关系。设 $Y$ 是一个参数为 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的对数正态随机变量，那么 $Y = e^X$，其中 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。$Y$ 的累积分布函数（CDF）可以根据 $X$ 的CDF计算得出：
[F_Y(y) \triangleq P[Y \leq y] = P[e^X \leq y] = P[X \leq \log(y)] = F_X(\log(y))]
通过求导，我们可以得到：
[f_Y(y) \triangleq \frac{dF_Y(y)}{dy} = \frac{dF_X(\log(y))}{d\log y} \cdot \frac{d\log(y)}{dy} = \frac{1}{y} f_X(\log(y))]
为了在数值上得到对数正态变量 $Y$ 的密度函数，我们将处理 $X$ 的变换后的密度。由于 $X$ 是正态分布的，且 $\varphi_X(u) = e^{i\mu u - \frac{1}{2} \sigma^2 u^2}$，通过COS方法，我们可以恢复对数正态随机变量的概率密度函数（PDF）。

在这个数值实验中，我们设定 $\mu = 0.5$ 和 $\sigma = 0.2$，并分析COS方法的收敛性，该收敛性取决于展开项的数量 $N$。通过比较图6.1和图6