10、金融中的数学建模与计算：方差互换和局部波动率模型

金融中的数学建模与计算：方差互换和局部波动率模型

1. 方差互换的基本概念

方差互换是一种远期合约，在到期日 T，它支付实现方差与预先定义的执行价格（乘以一定名义金额）之间的差额。通常，远期合约不在受监管的交易所交易，而是在场外由双方直接交易。交易双方约定在未来的预定义时间以商定价格买卖资产。

实现方差的测量方式多样，因为没有正式定义的市场惯例。例如，可以通过连续观察股票表现间接测量波动率。对于资产 S(t)，给定时间网格 t0 < t1 < · · · < tm = T，执行水平 K，模型方差互换的收益定义为：
[
H(T, S) = \frac{252}{m} \sum_{i=1}^{m} \left( \log \frac{S(t_i)}{S(t_{i - 1})} \right)^2 - K = \sigma_v^2(T) - K
]
其中，252 代表给定年份的工作日数量，(\sigma_v^2) 是互换期间股票的实现方差。通常，执行价格 K 的设定使得合约初始价值为 0。

在确定性利率 r 下，合约在时间 t0 的价值为：
[
V(t_0, S_0; K, T) = e^{-r(T - t_0)} E^Q [\sigma_v^2(T) - K | \mathcal{F}(t_0)]
]
当合约初始价值为 0 时，执行价格 K 满足：
[
e^{-r(T - t_0)} E^Q [\sigma_v^2(T) - K | \mathcal{F}(t_0)] = 0
]
即 (K = E^Q [\sigma_v^2(T) | \mathc