64、关于可由Choquet期望值表示的赌博偏好及Zadeh的Z - 数的新视角

关于可由Choquet期望值表示的赌博偏好及Zadeh的Z - 数的新视角

1. 可由Choquet期望值表示的赌博偏好

在赌博偏好的研究中，考虑一个有限集 (S = {s_1, s_2, s_3}) 以及定义在其上的一些赌博函数 (f)、(g)、(h)，其取值如下表所示：
| (S) | (s_1) | (s_2) | (s_3) |
| — | — | — | — |
| (f) | 1 | 2 | 2 |
| (g) | 2 | 3 | 1 |
| (h) | 1 | 1 | 2 |

同时，还给出了它们的一些相关广义赌博函数值，如 (f^L)、(g^L)、(h^L)、(f^U)、(g^U)、(h^U) 等。

通过考虑一个线性组合：
(\lambda_1g^L + \lambda_2g^L + \lambda_3f^L + \lambda_4h^L \leq \lambda_1f^L + \lambda_2h^L + \lambda_3h^L + \lambda_4f^L)
其中 (\lambda_i \geq 0) ，(i = 1, \cdots, 4) 。经过简单计算可知，对于 (\lambda_1 > 0) 或 (\lambda_2 > 0) 的任何选择，上述不等式都不成立。这意味着对于每一个具有正系数 (\lambda_i) 的有限比较子集，条件 (B - R) 都满足。

可以通过求解一个系统 (S) 来找到一个信念函数 (Bel) ，使得其对应的Choquet期望值能表示偏好关系 (\preceq) 。具体来说，设：
(A = \begin{bmatrix