15、卢卡西维茨公开宣告逻辑：代数语义与完备性证明

卢卡西维茨公开宣告逻辑：代数语义与完备性证明

1. 卢卡西维茨公开宣告逻辑基础

卢卡西维茨公开宣告逻辑（Lukasiewicz Public Announcement Logic，简称 LnPAL）的演算规则仅有肯定前件规则（modus ponens）：若有 ϕ 和 ϕ → ψ，则可推出 ψ，由此定义了 LnPAL 的演算 ⊢l LnPAL。

该逻辑中定义动态算子与其他连接词相互作用的公理形式，与经典（以及直觉主义）情形类似。不过，有一个显著差异是公式 αn 的存在，它是 α ⊙… ⊙ α（n 次）的简写，其中 α ⊙ α 又是 ¬(α → ¬α) 的简写。参数 n 用于区分不同的有限值卢卡西维茨公开宣告逻辑。在公理化过程中，公理中的 n 足够大即可，实际上，对于任何 m ≥ n，αm 在 LnPAL 中语义上都等价于 αn。

此外，我们构建的静态模态逻辑是最小正常模态逻辑 K 的多值类似物，而非模态逻辑 S5。这样选择是为了保证一般性，因为在对最小的 LnPAL 进行公理化后，很容易处理通过向其静态片段添加公理得到的扩展。

LnPAL 的完备性证明可采用与经典情形相同的策略，这需要检查上述引入的公理的可靠性，借助 LnPAL 的代数语义来完成这一检查最为简便。假设我们知道代数语义和关系语义是等价的，那么就完成了证明。这种等价性可通过 Teheux 提出的模态 MV - 代数对偶性轻松获得。

2. 模态 MV - 代数的对偶性

2.1 模态 n 值 MV - 代数（MMVn - 代数）

希尔伯特式演算不仅在 n 值克里普克模型的关系语义下是完备的，还可赋予由模态 n 值 MV - 代数（MMV